Auf einer Burg in einem Gebirge in Thüringen wirft an einem Wintertag (0°C) ein Kind einen Stein in einen Brunnen. Der Stein fällt ohne die Schachtwände zu berühren nach unten. Nach 6,52 Sekunden auf der Stoppuhr hört das Kind das Platschen des Steins auf der Wasseroberfläche. Der Schall braucht bei 0°C für 331,5 m Weg eine Sekunde.
Wie tief ist der Brunnen?
Eine Frage für Teilnehmer, die das Fallgesetz kennen und eine quadratische Gleichung lösen können.
Viel Spaß wünscht asinus :- )
Burgbrunnen
abwärts: $$s=\frac{g}{2}t_1^2 \quad | \quad g=9.81\ \frac{m}{s^2}$$
aufwärts: $$s=ct_2\quad | \quad c=331,5\ \frac{m}{s}$$
gleichsetzen: $$s=\frac{g}{2}t_1^2 = ct_2\quad | \quad t_1+t_2=t \qquad t=6,52s$$
t1 ersetzen durch t2: $$\frac{g}{2}(t-t_2)^2 = ct_2 \quad | \quad t_1 = t - t_2$$
Konstante k definieren: $$(t-t_2)^2=2*k*t_2 \quad | \quad k = \frac{c}{g}[s]=\frac{331,5
[\frac{m}{s}]
}
{
9,81
[\frac{m}{s^2}]
} = 33,7920489297s$$
nach t2 auflösen: $$\begin{array}{rcl}
t^2-2tt_2+t_2^2 &=& 2kt_2\\
t_2^2-2t_2(t+k)+t^2 &=& 0\\
t_2 &=& t+k\pm\sqrt{(t+k)^2-t^2} \quad | \quad t_1=t-t_2\\
t-t_2=t_1 &=& -k\mp \sqrt{(t+k)^2-t^2} \quad | \quad t_1 \;muss \;\ge 0 \;sein! \;Vorzeichen \ + \\
t_1 &=& -k+ \sqrt{(t+k)^2-t^2} \\
t_1 &=& -k+ \sqrt{\not{t^2}+2tk+k^2-\not{t^2}}
\end{array}$$
$$\textcolor[rgb]{1,0,0}{
\boxed{
\textcolor[rgb]{0,0,0}{
t_1 = -k+ \sqrt{k(k+2t)}
}
}
}$$
Lösung: $$t_1=5,98924\ s$$
$$t_2=t-t_1=0,53076\ s$$
$$s=ct_2=175,9472\ m$$
Der Brunnen ist 175,9472 m tief.
Hallo radix,
nun zeige uns bitte aber auch hier im Forum die richtige Lösung.
Es handelt sich im übrigen um den Burgbrunnen auf dem Kyffhäuser.
Gruß asinus :- )
Burgbrunnen
abwärts: $$s=\frac{g}{2}t_1^2 \quad | \quad g=9.81\ \frac{m}{s^2}$$
aufwärts: $$s=ct_2\quad | \quad c=331,5\ \frac{m}{s}$$
gleichsetzen: $$s=\frac{g}{2}t_1^2 = ct_2\quad | \quad t_1+t_2=t \qquad t=6,52s$$
t1 ersetzen durch t2: $$\frac{g}{2}(t-t_2)^2 = ct_2 \quad | \quad t_1 = t - t_2$$
Konstante k definieren: $$(t-t_2)^2=2*k*t_2 \quad | \quad k = \frac{c}{g}[s]=\frac{331,5
[\frac{m}{s}]
}
{
9,81
[\frac{m}{s^2}]
} = 33,7920489297s$$
nach t2 auflösen: $$\begin{array}{rcl}
t^2-2tt_2+t_2^2 &=& 2kt_2\\
t_2^2-2t_2(t+k)+t^2 &=& 0\\
t_2 &=& t+k\pm\sqrt{(t+k)^2-t^2} \quad | \quad t_1=t-t_2\\
t-t_2=t_1 &=& -k\mp \sqrt{(t+k)^2-t^2} \quad | \quad t_1 \;muss \;\ge 0 \;sein! \;Vorzeichen \ + \\
t_1 &=& -k+ \sqrt{(t+k)^2-t^2} \\
t_1 &=& -k+ \sqrt{\not{t^2}+2tk+k^2-\not{t^2}}
\end{array}$$
$$\textcolor[rgb]{1,0,0}{
\boxed{
\textcolor[rgb]{0,0,0}{
t_1 = -k+ \sqrt{k(k+2t)}
}
}
}$$
Lösung: $$t_1=5,98924\ s$$
$$t_2=t-t_1=0,53076\ s$$
$$s=ct_2=175,9472\ m$$
Der Brunnen ist 175,9472 m tief.