hallo ich bräuchte hilfe bei 2 aufgaben bitte
die erste wäre:
Gegeben ist die funktion f(x)= 1/2x^2 -2,5x+2
Gesucht ist der Gesamtinhalt der Fläche zwischen dem graphen von fund der x-achse über dem Intervall (0;3)
Nr.2
Gesucht ist der Flächenihnhalt A der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f(x)=x^3 -1 und den beiden Koordinatenachsen die im 4.Quadraten liegen
Wer extrem nett wenn mir jemand weiter helfenkönnte selbst bei nur einer aufgabe danke
LG
Guten Morgen Matheanfänger!
Für heute Aufgabe Nr.1
Gegeben ist die Funktion f(x)= 1/2x^2 - 2,5x + 2
Gesucht ist der Gesamtinhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f(x) und der x-Achse über dem Intervall (0;3)
Zuerst prüfen wir, ob die Funktion im Intervall (0;3) Nullstellen,
also Schnittstellen mit der x-Achse, hat.
\(0,5x^2 - 2,5x + 2=0\)
\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\\ x = {2,5 \pm \sqrt{6,25-4\cdot 0,5\cdot 2} \over 2\cdot 0,5}\\ x=\frac{2,5\pm \sqrt{2,25}}{1}\\ x_1=4\\ x_2=1\)
Im Intervall (0;3) finden wir die Nullstelle x2 = 1.
Deshalb berechnen wir die Flächen in den Bereichen (1;0) und (1;3) und addieren sie.
Flächen unter der x-Achse sind negativ, wenn in die positive x-Richtung integriert wird.
Flächen unter der x-Achse sind positiv, wenn in die negative x-Richtung integriert wird.
Jetzt ermitteln wir die Stammfunktion.
\(\color{BrickRed}f(x)=0,5x^2 - 2,5x + 2=0\\\color{blue} \left[A\right]_0^1 \\ =\int_{0}^{1} \! (0,5x^2 - 2,5x + 2) \, dx \\ =\left[\frac{x^3}{6}-1,25x^2+2x\right]_{0}^{1} \\ =(\frac{1}{6}-1,25+2)-(0)\\ =0,916\overline{6}\\\color{blue} =\frac{11}{12}\ Quadrateinheiten\)
\(\left[A\right]_3^1 \)
\(=\int_{3}^{1} \! (0,5x^2 - 2,5x + 2) \, dx \\ =\left[\frac{x^3}{6}-1,25x^2+2x\right]_{3}^{1} \\ =(\frac{1}{6}-1,25+2)-(4,5-11,25+6)\\ =(0,916\overline6)-(-0,75)\color{blue}=1,6\overline6\\ \color{blue}=1\frac{2}{3}\ Quadrateinheiten\)
\(\left[A\right]_0^1+\left[A\right]_3^1\\ \color{black} =\frac{11}{12}+\frac{5}{3}=\frac{31}{12}\\ =2\frac{7}{12}\ Quadrateinheiten\)
Die Summe der beiden Flächen zwischen dem Graphen der Funktion f(x)
und der x-Achse beträgt \(\large 2\frac{7}{11}\ Quadrateinheiten\).
Das war es für heute. Der Rest kommt morgen.
Gruß von
!
Hallo, guten Morgen!
Nun zu
Nr.2
Gesucht ist der Flächeninhalt A der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion \(f(x)=x^3-1\) und den beiden Koordinatenachsen, die im 4.Quadranten liegen.
Der 4. Quadrant wird begrenzt von der negativen y-Achse und der positiven x-Achse.
\(f(x)=x^3-1\) ist eine Parabel 3.Grades.
-1 zeigt an, dass der Graph bei -1 durch die y-Achse geht.
Bei 1 geht der Graph durch die x-Achse
weil:
\(f(x)=x^3-1=0\\ x^3=1\\ x= \sqrt[3]{1}\\ \color{blue}x=1\)
Die gesuchte Fläche A ist
\(A=\int_{0}^{1} \! (x^3-1) \, dx \\ A=| \frac{x^4}{4} -x|_0^1\\ A= (\frac{1}{4}-1)-(0)\)
\(\LARGE A=-\frac{3}{4}\) \(Quadrateinheiten\)
Flächen unter der x-Achse sind negativ, wenn in die positive x-Richtung integriert wird.
Flächen unter der x-Achse sind positiv, wenn in die negative x-Richtung integriert wird.
Die Fläche zwischen den Koordinatenachsen und dem Graphen der Funktion \(f(x)=x^3-1\)
im 4. Quadranten ist \(\frac{3}{4}\) Quadrateinheiten groß.
Gruß
!