+0  
 
0
92
2
avatar

Use differences to find a pattern in the sequence.

 

3​,11, 18 , 33 , 65 , 123 , 216

 

Assuming that the pattern continues, the eighth term should be = 

Guest Sep 21, 2017

Best Answer 

 #2
avatar+79894 
+1

                                                   3​         11          18          33         65         123            216

 

Frst differences                               8           7           15          32          58             93

 

Second differences                                -1          8           17           26          35

 

Third differences                                         9             9            9            9

 

 

Since we have   a constant difference in the third differences, this series can be represented by a cubic polynomial =

 

an^2   +  bn^2  + cn  + d           where   "n"  is  is the nth value of the sequence

 

We have that

 

a      +      b       +      c      +     d     =    3      →  -a   - b   - c  - d   =  -3      (1)

8a    +    4b       +   2c       +     d     =   11      (2)

27a  +    9b       +   3c       +    d      =   18      (3)

64a  +    16b    +    4c       +    d      =   33      (4)

 

 

Add (1) and (2),   (1) and (3)   and  (1)  and (4)....and we have

 

7a    +  3b  +  c     =  8      (5)

26a  +  8b  +  2c   =  15    (6)

63a  + 15b  + 3c  =  30     (7)

 

Multiply   (5)  by -2 add it to (6)    and    (5)  by -3 and  add it to (7) 

 

And we have

 

12a  + 2b  =  - 1      (8)

42a  + 6b  =   6        (9)

 

Multiply  (8)  by  - 3 and add it to (9)

 

6a   =  9       →    a   = 9/6  = 3/2

 

And   to find b we have that       12 (3/2)  + 2b  = - 1   →   2b  = -19 →  b  = -19/2

 

And to find c we have  7(3/2) + 3(-19/2)  + c  = 8  →  -36/2  + c  = 8  → 

-18 + c  = 8       →  c  = 26

 

And to find d  we have that

 

(3/2)  + (-19/2)  +  26  + d   = 3

-16/2   +  26  + d   = 3

-8 +  26  +  d  = 3

18  + d  = 3

c  = -15

 

So....our generating  function is     (3/2)n^3  - (19/2)n^2  + 26n  -  15

 

 

 

cool cool cool

CPhill  Sep 22, 2017
Sort: 

2+0 Answers

 #1
avatar
0

3​,11, 18 , 33 , 65 , 123 , 216

8,  7,  15,  32,  58,  93

  -1,   8,   17, 26,  35

   9,  9,  9,  9.........., so, your sequence would continue like this:

3, 11, 18, 33, 65, 123, 216, 353, 543, 795........etc.

P.S. You could also use this formula to give any term that you want:

a(n) = 1/2 (3n^3 - 19n^2 + 52n - 30)

Guest Sep 22, 2017
 #2
avatar+79894 
+1
Best Answer

                                                   3​         11          18          33         65         123            216

 

Frst differences                               8           7           15          32          58             93

 

Second differences                                -1          8           17           26          35

 

Third differences                                         9             9            9            9

 

 

Since we have   a constant difference in the third differences, this series can be represented by a cubic polynomial =

 

an^2   +  bn^2  + cn  + d           where   "n"  is  is the nth value of the sequence

 

We have that

 

a      +      b       +      c      +     d     =    3      →  -a   - b   - c  - d   =  -3      (1)

8a    +    4b       +   2c       +     d     =   11      (2)

27a  +    9b       +   3c       +    d      =   18      (3)

64a  +    16b    +    4c       +    d      =   33      (4)

 

 

Add (1) and (2),   (1) and (3)   and  (1)  and (4)....and we have

 

7a    +  3b  +  c     =  8      (5)

26a  +  8b  +  2c   =  15    (6)

63a  + 15b  + 3c  =  30     (7)

 

Multiply   (5)  by -2 add it to (6)    and    (5)  by -3 and  add it to (7) 

 

And we have

 

12a  + 2b  =  - 1      (8)

42a  + 6b  =   6        (9)

 

Multiply  (8)  by  - 3 and add it to (9)

 

6a   =  9       →    a   = 9/6  = 3/2

 

And   to find b we have that       12 (3/2)  + 2b  = - 1   →   2b  = -19 →  b  = -19/2

 

And to find c we have  7(3/2) + 3(-19/2)  + c  = 8  →  -36/2  + c  = 8  → 

-18 + c  = 8       →  c  = 26

 

And to find d  we have that

 

(3/2)  + (-19/2)  +  26  + d   = 3

-16/2   +  26  + d   = 3

-8 +  26  +  d  = 3

18  + d  = 3

c  = -15

 

So....our generating  function is     (3/2)n^3  - (19/2)n^2  + 26n  -  15

 

 

 

cool cool cool

CPhill  Sep 22, 2017

4 Online Users

We use cookies to personalise content and ads, to provide social media features and to analyse our traffic. We also share information about your use of our site with our social media, advertising and analytics partners.  See details