Wie löst man folgende Gleichung nach dem Winkel x auf: 0,9cosx-0,75sinx=0,18

Hallo heureka,

danke für den Hinweis. Aber 239,03° wäre doch auch richtig, denn -120,97+360 =239,03°. Wenn ich 239,03° einsetze, kommt 0,18 heraus. Eigentlich müsste man hinter die Lösungen noch +2kpi setzen.

Gruß

x1=41,36°

x2=-59,03°

Lösungsweg folgt morgen.

Wie löst man folgende Gleichung nach dem Winkel x auf: 0,9cosx-0,75sinx=0,18

$$0,9\cdot \cos(x)-0,75\cdot \sin(x)=0,18 \qquad | \qquad : 0,9 \\\\

\boxed{ \cos(x) -\frac{0,75}{0,9} \cdot \sin(x)=0,2 } \\\\\\
\small{\text{
Wir setzen einen Hilfswinkel $\varepsilon$ mit $\tan(\varepsilon)= -\frac{0,75}{0,9}$
}}\\\\
\small{\text{
$\cos(x) + \tan(\varepsilon) \cdot \sin(x)=0,2 }
$}}\\
\small{\text{
$\cos(x) + \dfrac{\sin(\varepsilon)}{ \cos(\varepsilon) } \cdot \sin(x)=0,2 } \quad | \quad \cdot \cos(\varepsilon)
$}}\\\\
\small{\text{
$ \cos(\varepsilon)\cdot \cos(x) + \sin(\varepsilon) \cdot \sin(x) =0,2\cdot \cos(\varepsilon) }
$}}\\
\small{\text{Anwendung des Additionstheorems:
$\cos(\varepsilon-x) =
cos(\varepsilon)\cdot \cos(x) + \sin(\varepsilon) \cdot \sin(x)
$}}\\\\
\small{\text{
$
\boxed{
\cos(\varepsilon-x) =0,2\cdot \cos(\varepsilon) }
}
$
}}\\
\small{\text{Wir berechnen $\varepsilon: \varepsilon = \arctan\left( \dfrac{-0.75}{0.9} \right) = -39.8055710923\ensurement{^{\circ}}
$}}\\\\
\small{\text{
$\cos(-39.8055710923\ensurement{^{\circ}}
-x) =0,2\cdot \cos(-39.8055710923\ensurement{^{\circ}}) \quad | \quad \cos(-39.8055710923\ensurement{^{\circ}}) = 0.76822127960
$}}\\
\small{\text{
$\cos(-39.8055710923\ensurement{^{\circ}}
-x) =0,2\cdot 0.76822127960
$}}\\
\small{\text{
$\cos(-39.8055710923\ensurement{^{\circ}}
-x) =0.15364425592 \quad | \quad \pm \arccos()
$}}\\
\small{\text{
$ -39.8055710923\ensurement{^{\circ}}
-x = \pm 81.1618239918\ensurement{^{\circ}}
$}}\\
\small{\text{
$ x = -39.8055710923\ensurement{^{\circ}}\pm 81.1618239918\ensurement{^{\circ}}
$}}\\
\small{\text{
$ x_1 = -39.8055710923\ensurement{^{\circ}} + 81.1618239918\ensurement{^{\circ}} = 41.3562528996\ensurement{^{\circ}}
$}}\\
\small{\text{
$ x_2 = -39.8055710923\ensurement{^{\circ}} - 81.1618239918\ensurement{^{\circ}} = -120.967395084\ensurement{^{\circ}}
$}}\\$$

Probe:

0,9 * cos(41,3562528996)-0,75 * sin(41,3562528996)=0,18 ?
0,9 * 0.75061578300 - 0,75 * 0.66073893960 = 0.67555420470 -0.49555420470 = 0,18 (OKAY!)

0,9 * cos(-120.967395084)-0,75 * sin(-120.967395084)=0,18 ? 
0,9 * (-0.51455020923) - 0,75 * ( -0.85746025108 ) = -0.46309518831 + 0.64309518831 = 0,18 (OKAY!)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+0.9*+cos%28x%29-0.75*sin%28x%29%3D0.18

Hallo Omi67,

Deine 2. Lösung sin(x2) = -0.85746025108 mit dem Winkel x2 = -59.0326049162

erfüllt nicht die Ausgangsgleichung:

0,9*cos(x)-0,75*sin(x)=0,18

0,9*cos(-59,0326049162) - 0,75 * sin(-59,0326049162)

= 0,9* 0,51455020923 -0.75*(-0.85746025108)

= 0.46309518831 + 0.64309518831 = 1.10619037662 $$\ne$$ 0.18

Siehe Link zur Lösung mit WolframAlpha:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=0.9*+cos%28x%29-0.75*sin%28x%29%3D0.18

Viele Grüße

Heureka

Hallo Omi67,

du hast vollkommen recht!

Alle Lösungen lauten: $$x = 239.032604916\ensurement{^{\circ}} \pm k\cdot 360 \ensurement{^{\circ}}$$ und $$x = 41.3562528996\ensurement{^{\circ}} \pm k\cdot 360 \ensurement{^{\circ}}$$

k=0,1,2,...

Viele Grüße

Super - vielen Dank für die Lösung ... hat mir sehr geholfen

vevo