+514 Bestimme \(k\) und die Lösungen der Gleichung \(25x^2+kx-19=0\) so, dass sich die beiden Lösungen um 4 unterscheiden.
Bestimme \(u\) und die Lösungen der Gleichung \(2x^2+ux-8=0\) so, dass die Lösungen sich nur durch das Vorzeichen unterscheiden.
Bestimme \(A\) und die Lösungen der Gleichung \(Ax^2-6x+1=0\) so, dass die eine Lösung halb so gross ist wie die andere.
Also die Mitternachtsformel kenne ich aber wie löst man solche Aufgaben? 
+14901 Bestimme \(k\) und die Lösungen der Gleichung \(25x^2+kx-19=0\) so, dass sich die beiden Lösungen um 4 unterscheiden.
Hallo Mathefan!
\(\color{BrickRed}25x^2+kx-19=0\\ x^2+\frac{k}{25}x-\frac{19}{25}=0\)
\(x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\\x=-\frac{k}{50}\pm\sqrt{\frac{k^2}{2500}+\frac{19}{25}}\)
\(-\frac{k}{50}+\sqrt{\frac{k^2}{2500}+\frac{19}{25}}-4=-\frac{k}{50}-\sqrt{\frac{k^2}{2500}+\frac{19}{25}}\\ \sqrt{\frac{k^2}{2500}+\frac{19}{25}}-4=-\sqrt{\frac{k^2}{2500}+\frac{19}{25}}\\\)
Substitution
\(\sqrt{\frac{k^2}{2500}+\frac{19}{25}}=u\)
u - 4 = - u
2u = 4
u = 2
Resubstitution
\(u=\sqrt{\frac{k^2}{2500}+\frac{19}{25}}\)
\(\sqrt{\frac{k^2}{2500}+\frac{19}{25}}=2\\ \frac{k^2}{2500}+\frac{19}{25}=2^2\\ k^2=2500 \cdot (4-\frac{19}{25})\\ k=\sqrt{8100}\\ \color{blue}k=\pm90\)
\(25x^2+kx-19=0\\ \color{blue}k=90\\ \color{blue}25x^2+90x-19=0\)
\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
\(x = {-90 \pm \sqrt{8100+4\cdot 25\cdot 19} \over 2\cdot 25}\\ x = {-90 \pm \sqrt{10000} \over 50}\\ x = {-90 \pm 100 \over 50}\\ \color{blue}x_1=0,2\\ \color{blue}x_2=-3,8\)
\(\color{blue}x_1-x_2=4\)
\(25x^2+kx-19=0\\ \color{blue}k=-90\\ \color{blue}25x^2-90x-19=0\)
\(x = {90 \pm \sqrt{8100+4\cdot 25\cdot 19} \over 2\cdot 25}\\ x = {90 \pm \sqrt{10000} \over 50}\\ x== {90 \pm 100 \over 50}\\ \color{blue}x_1=3,8\\ \color{blue}x_2=-0,2\)
\(\color{blue}x_1-x_2=4\)
