Hey Freunde,
ich verstehe diesen Binomialsatz bei der Induktion nicht bzw. bekomme es nicht gebacken, obwohl ich die Induktion beherrsche. Kann mir jemand mal das bitte vorrechnen, sodass ich meinen Fehler vielleicht dann entdecke.
Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n:
\(\huge{\sum \limits_{i=1}^{n} i}=\begin{pmatrix} n+1\\ 2 \end{pmatrix}\)
Freundliche Grüße
DerBub
+12527 Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n:
+14903 Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n:
\({\sum \limits_{i=1}^{n} i}=\begin{pmatrix} n+1\\ 2 \end{pmatrix} \)
Hallo Der Bub,
ich ersetze \({\sum \limits_{i=1}^{n} i}=\begin{pmatrix} n+1\\ 2 \end{pmatrix}\) durch das mir geläufigere \({\sum \limits_{i=1}^{n} i}=\frac{n}{2}(n+1)\)
Ab hier orientiere ich mich an einem Beitrag von Omi67 am 25.03.2018.
Induktionsanfang:
n=1 \(linke\ Seite: n=1\\ rechte\ Seite: \frac{n}{2}(n+1)=\frac{1}{2}(1+1)=1\)
n=2 \(linke\ Seite:n=2\\ rechte \ Seite:\frac{n}{2}(n+1)=\frac{2}{2}(2+1)=3\)
Induktionsannahme:
\({\sum \limits_{i=1}^{n} i}=\frac{n}{2}(n+1)\)
Induktionsbehauptung: Man ersetzt In der Annahme n durch n+1.
\({\sum \limits_{i=1}^{n+1} i}=\frac{n+1}{2}(n+1+1)=\frac{1}{2}(n+1)(n+2)\)
Beweis des Induktionsschrittes:
\(linke\ Seite:\\ {\sum \limits_{i=1}^{n+1} i}={\sum \limits_{i=1}^{n} i}+\frac{1}{2}(n+1)(n+2)\)
\(=\frac{1}{2} \cdot n(n+1)+\frac{1}{2}(n+1)(n+2)\\ =\frac{1}{2}\cdot (n+1) (n+n+2)\\ =\frac{1}{2} \cdot (n+1)(2n+2)\) Wo steckt der Wurm?
\(rechte\ Seite:\)
\(=\frac{1}{2}(n+1)(n+2)\)
Pause zum Nachrechnen.
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