Differentialgleichung

Die gegebene Differentialgleichung lautet:

$y' + 3y = x^2$

mit der Anfangsbedingung:

$y(0) = 1$

Wir wenden die Methode der Variablenseparation an und schreiben die Differentialgleichung um:

$dy/dx + 3y = x^2$

$dy/dx = x^2 - 3y$

$dy/(x^2 - 3y) = dx$

Wir integrieren beide Seiten der Gleichung:

$∫ dy/(x^2 - 3y) = ∫ dx$

Zur Integration des linken Integrals verwenden wir die Substitution $u = x^2 - 3y$. Dann gilt $du/dy = -3$, also $du = -3 dy$.

$∫ -1/3 du/u = ∫ dx$

$-ln|u|/3 = x + C$

$-ln|x^2 - 3y|/3 = x + C$

$|x^2 - 3y| = e^(-3x-3C)$

Da $y(0) = 1$, setzen wir$x = 0$ und $y = 1$ in die Gleichung ein und lösen nach C auf:

$|0^2 - 3(1)| = e^(-3*0-3C)$

$|-3| = e^(-3C)$

$3 = e^(-3C)$

$C = -ln(1/3)$

$C = ln(3)$

Daher lautet die explizite Lösung der Differentialgleichung:

$|x^2 - 3y| = 3e^(-3x)$

Wenn x < 0, dann gilt:

$x^2 - 3y = -3e^(-3x)$

$y = (x^2 + 3e^(-3x))/3$

Wenn x ≥ 0, dann gilt:

$x^2 - 3y = 3e^(-3x)$

$x^2 - 3y = 3e^(-3x)$

Damit haben wir die Lösung y(x) der Differentialgleichung mit der gegebenen Anfangsbedingung gefunden.