Hohlkugel in Wasser

Hallo asinus,

es gibt hier eine Methode, die Gleichung $$\boxed{h^3 - 25,5h^2 + 1102,950 = 0}$$ zu Fuß aufzulösen:

$$\boxed{h^3 - 25,5h^2 + 1102,950 = 0 \qquad b=-25,5 \quad d=1102,95 }$$

$$\boxed{ B=-\frac{b^2}{3}=-216,75 \qquad D=\frac{2b^3}{27}+d=-125,3 }$$

$$\boxed{a=\sqrt{-\frac{4}{3}B} = 17}$$

$$\boxed{q=\frac{D}{a^3}= -0,02550376552}$$

$$\boxed{4q=-0,10201506208}$$  

Ist 4q<1, erhalten wir drei reelle Lösungen:

$$\boxed{\phi=arcsin(4q)=-5,85521855948\ensurement{^{\circ}}}$$

$$\boxed{ h_1=a\sin(\frac{1}{3}\phi)-\frac{b}{3}=17*(-0,03405769325) + 8,5=7,92101921469}$$

$$\boxed{ h_2=a\sin(\frac{1}{3}(\phi+360\ensurement{^{\circ}}))-\frac{b}{3}=17*(0,88255184178) + 8,5=23,5033813103}$$

$$\boxed{ h_3=a\sin(\frac{1}{3}(\phi+720\ensurement{^{\circ}}))-\frac{b}{3}=17*(-0,84849414853) + 8,5=-5,92440052504}$$

Hallo radix,

Archimedes lehrte, dass das Gewicht eines schwimmenden Körpers gleich dem Gewicht der verdrängten Wassermenge ist.

Schauen wir mal, ob die Kugel überhaupt schwimmt.

Va = PI * ra^3 * 4/3 = PI * 8,5^3 * 4/3 = 2572,441 cm^3

m(H2O)= Va*rho(H2O)= 2572,441cm^3*1g/cm^3=2572,441g

Vi = PI * ri^3 * 4/3 = PI * 8^3 * 4/3 = 2144,661 cm^3

m(Al)=(Va - Vi)*rho(Al)=427,780cm^3*2,7g/cm^3=1155,007g

1155g < 2572g  -> Also schwimmt die Kugel.

Das verdrängte Wasser hat die Form eines Kugelabschnittes.

V = PI * h^2 * (3r - h) / 3     [ *3

3V = PI * h^2 * (3r - h)

3V = PI * h^2 * 3r - PI * h^3      [ / PI

3V/PI = 3r * h^2 - h^3

h^3 - 3r * h^2 + 3V / PI = 0

h^3 - 3*8,5*h^2 + 3 * 1155,007/3,1415926 = 0

h^3 -25,5h^2 + 1102,950 = 0

Ab hier komme ich nicht weiter. Der Gleichungslöser liefert drei komplexe Lösungen.

Ich muss einen Fehler in  der Rechnung haben. Ich schicke diese Antwort trotzdem. Vielleicht findet einer von euch den Fehler. Mir wäre sehr daran gelegen.

Gruß von asinus  :-?

Hallo asinus,

so schnell habe ich nicht mit der (nahezu ??) richtigen Antwort gerechnet! Gut gemacht !

Unsere letzte Zeile unterscheidet sich  nur in einer Zahl und ich bin mir nicht ganz sicher, wo und bei wem der Fehler steckt.

Statt deiner   - 24h²   habe ich   -25.5h² !

Bei dir käme dann  h = 8,41156 cm Eintauchtiefe heraus.

Vielleicht findest du heraus, bei wem und wo der "Fehler" steckt.

Also :    h³ -25.5h² +1102,95 = 0   ->  h =  7,92102 cm  ( supergenauer                Vergleichswert !)

Vielen Dank, dass du  "mitgerätselt" hast und auch noch alles prima erklärt hast !

Gruß radix !

Hallo asinus und alle anderen "Hohlkugel-Mitdenker" !

Ich habe versucht, die verschiedenen Beziehungen bei den Berechnungen in eine einzige "Formel" zu packen und bin zu folgendem Ergebnis gekommen:

h² * ( 3*R -h ) = 4 * d * ( R³ - r³ )

Außenradius                R       (= 8,5 cm )

Innenradius                  r        (= 8,0 cm )    ( Außenradius  - Wandstärke )

Dichte des Materials    d       ( = 2,7 g/cm³ )    ( Wasser = 1 g/ cm³)

Eintauchtiefe                h     (  ->  7,9210192 cm )   

Vielleicht kann jemand dieses Ergebnis für  die Eintauchtiefe  h  bestätigen oder korrigieren. Ich bedanke mich schon jetzt.

Gruß radix !

Hallo radix,

vielen Dank für deine Beiträge zur Eintauchtiefe.Der Fehler in der Gleichung liegt bei mir. Ich habe irrtümlich den Innenradius statt des Außenradiuses eingesetzt. Ich habe das in meinem Beitrag richtig gestellt. Die Gleichung heißt also richtig

h^3 - 25,5h^2 + 1102,950 = 0

Daraus hast du h = 7,92102 cm errechnet. Bitte erkläre mir, wie du dabei vorgehst. Ich habe die Gleichung in den Gleichungslöser übertragen und bekomme nur komplizierte komplexe Ergebnisse. Oder gibt es eine Methode, die Gleichung zu Fuß aufzulösen? Auf eine Antwort freut sich

asinus :- )

Hallo asinus,

mit diesem Gleichungslöser kannst du die kubische Gleichung problemlos lösen!

http://equationsolver.intemodino.com/de/kubische-gleichungen-loesen.html

Gruß radix !

Hallo radix,

ganz herzlichen Dank für den Gleichungslöser!

Gruß asinus :- ))

Hallo heureka,

danke für die Lösungsmethode zu Fuß. Ich muss gestehen, dass ich Schwierigkeiten beim Verfolgen der Rechnung habe. Da müsste ich einiges dazu lernen. Ich kann den Gang der Rchnung verfolgen, nicht aber das Warum, das dahinter steckt. Immerhin bleibt mir der Gleichungslöser. Ich bewundere die Art der Darstellung in deinen Beiträgen. Auch dafür vielen Dank!

Grüße von asinus  :- )