Injektivität und Surjektivität

Da arbeitet man am besten recht strikt mit den Definitionen:

Eine Funktion f ist injektiv, wenn für alle x, y aus der Urbildmenge gilt: f(x)=f(y) => x=y

(Das bedeutet: Zwei unterschiedliche Urbilder haben stets unterschiedliche Bilder!)

Eine Funktion ist surjektiv, wenn für alle Elemente y aus dem Bildbereich ein Urbild x existiert mit f(x)=y.

a)
Für die Injektivität nehmen wir uns also zwei Werte aus dem Urbildbereich, wir nennen sie (x, y) und (x', y'). Damit die Bilder gleich sind, müsste gelten

2x-5y = 2x' -5y'   |+5y; -2x'

2*(x-x') = 5(y-y')

Und hier fällt auf: Das ist vermutlich öfters der Fall! Beispielsweise wenn x-x'=5 und y-y'=2 ist. Wir machen's konkreter, indem wir Zahlenwerte angeben. Das erste Paar suche ich mir dafür aus: Sei (x, y)=(10; 10). Dann ist x'=5 und y'=8, damit die Gleichungen von eben erfüllt sind, also ist (x', y')=(5; 8). Wir prüfen: 2*10 - 5*10 = -30 und 2*5-5*8=-30 - passt. Wir haben also zwei Urbilder angeben können, die das Gleiche Bild hat. Die Funktion ist daher nicht injektiv. (Injektivität wird meistens durch ein Gegenbeispiel widerlegt.)

Für die Surjektivität wollen wir zeigen: Für jede ganze Zahl z gibt es ein Paar (x, y) mit 2x-5y=z. In der Regel klappt das, indem man das Urbild direkt angibt. Das fällt mir hier tatsächlich spontan etwas schwer, es geht aber, wenn man sich den Zielbereich, also die ganzen Zahlen, ein bisschen einteilt:

Für gerade, positive Zahlen z können wir als Urbild (z/2, 0) benutzen, denn z/2 ist dann eine natürliche Zahl und 2*z/2-5*01=z.

Für ungerade, positive Zahlen ist ein mögliches Urbild ((z+5)/2; 1), denn (z+5)/2 ist dann eine natürliche Zahl, 1 auch, & 2*(z+5)/2 - 5*1 = z - passt!

Für negative Zahlen können wir nun folgendes Festhalten: Da es alle positiven Zahlen im Bildbereich gibt, sind insbesondere die Zahlen 0-4 im Bildbereich. Erhöht man y, so geht man von dort jeweils in 5er-Schritten nach "unten", so kann jede negative ganze Zahl erreicht werden.

Damit folgt: Jede Zahl in der Bildmenge hat ein Urbild, die Funktion ist surjektiv!

edit: b) & c) kommen gleich, muss scheinbar erst durch die Mods geprüft werden? Evtl weil ich zwei ziemliche Walls-of-Text erzeugt habe, als Spam-Schutz? :D

(Vielleicht geht das noch etwas eleganter, aber immerhin. Ist 0 bei euch keine natürliche Zahl, so müsste man für die positiven ganzen Zahlen was anderes nehmen, evtl ( (z+10)/2; 2) als Urbild von z.)

Das ist jetzt alles etwas länglich, weil ich's sehr ausführlich mach. Ich hoff das hilft :D

Weiter geht's mit b), da geht's ein bisschen schneller:
Zur Injektivität seien a & b natürliche Zahlen. Ist g(a)=g(b), bedeutet das: \(k \geq a \Leftrightarrow k \geq b\). Daher muss a=b sein.

Es geht auch andersrum: Sind a und b ungleiche Zahlen, so ist entweder ab und somit b nicht in g(a). Daher ist dann auch g(a) ungleich g(b). Die Funktion ist daher injektiv.

Für die Surjektivität würd' ich hier das intuitive "Feeling" ausnutzen, dass die Potenzmenge ja schon deutlich größer ist als die Menge selbst. Ich versuch' also, auf "gut Glück" Mengen zu finden, die kein Urbild haben. An der Definition von g fällt ja schon auf, dass da immer ganze Zahlenbereiche als Bilder 'rauskommen. Daher kann zB. die Menge B={1; 4; 18} kein Bild einer Zahl n sein. Wäre es ein Bild, so gäbe es eine natürliche Zahl ausschließlich 1, 4 und 18 größere natürliche Zahlen sind - das ist Quatsch. B hat also kein Urbild, die Funktion ist nicht surjektiv.

c):
Für die Injektivität könnte man den gleichen Ansatz wie in a) verfolgen und würde wohl zum korrekten Ergebnis kommen. Es kann einem auch auffallen: Ist x=y, so ist das Bild stets (0; 0). Wir können also direkt zwei (oder mehrere) Elemente der Urbildmenge angeben, die das gleiche Bild haben, zB. (0, 0) und (1; 1). Also ist die Funktion nicht injektiv.

Für die Surjektivität halten wir zunächst fest: h(x) = (x-y; 2x-2y) = ( [x-y] ; 2[x-y] ). (Die eckige Klammer dient nur zur Verdeutlichung.)

Das zeigt uns: Der zweite Eintrag ist stets das doppelte des ersten Eintrags! Somit kann kein Element der Bildmenge, dessen zweiter Eintrag nicht das doppelte des ersten Eintrags ist, ein Urbild haben. Ein konkretes Gegenbeispiel ist (1; 3).

Abschließend möcht' ich nochmal betonen: Sowohl Surjektivität als auch Injektivität einer Funktion sind Aussagen, dass irgendwas für ALLE Elemente der Bild- oder Urbildmenge gilt. Sie sind daher auch allgemein nachzuweisen, es genügt nicht, zB. für Injektivität ein paar Urbilder anzugeben, deren Bilder unterschiedlich sind. Die jeweilige Negation, also Nicht-Injektivität bzw. Nicht-Surjektivität sind dann aber Aussagen á la "Es existiert...." , da reicht es also durchaus, nur ein Beispiel anzugeben. D.h., zwei unterschiedliche Elemente aus dem Urbildbereich, die das gleiche Bild haben, für Injektivität & ein Element aus dem Bildbereich, das kein Urbild hat. Viele sagen nur, dass es sowas gibt - geh da ruhig immer den letzten Schritt & schreib' einfach eins auf, wie in meinem letzten Satz oben das Gegenbeispiel (1; 3). So kannst du sicher sein, dass dein Beweis auch zuende geführt wurde.

Ich hoff ich konnte helfen, frag' gern nochmal nach wenn was unklar ist!

Keine Ahnung warum hier grad immer nur steht "Wurde zur Überprüfung durch die Moderatoren gemeldet.", das tut mir Leid. Ich probier's mal per pn.