Polynome faktorisieren

Hallo Blangfeld !

 

Hier ein paar Links zum Selbsterklärung:

 

https://www.youtube.com/watch?v=aIfstOcpVZc

https://www.youtube.com/watch?v=6PQZhuOKzmk

https://www.youtube.com/watch?v=RemWX2Z5_AU

https://www.youtube.com/watch?v=TgUpbO2UtVg

 

Hoffentlich konnte ich dir bisschen helfen.

 

Frohe Ostern!

Zunächst kannst du durch einfaches Ausprobieren die Nullstellen von f herausfinden - es kommen ja nur die Zahlen 0, 1, 2, 3 & 4 in Frage. Wir stellen fest: f(X) = 0 für X=0, X=3 und X=4. Daher wissen wir schonmal, dass die Linearfaktoren X, (X+1) und (X+2) vorkommen müssen. So erhalten wir zunächst aber ein Polynom von Grad 3, denn es ist X(X+1)(X+2)=X³+3X²+2X. 

Nun haben wir folgende Möglichkeiten: Die Linearfaktoren könnten mit größerer Vielfachheit vorkommen oder f = X(X+1)(X+2)*g wobei g ein irreduzibles Polynom von Grad 2 ist. Die erste Möglichkeit könnte wieder durch Probieren ausgeschlossen werden. Um nun ein geeignetes g zu finden könnte man alle irreduziblen, normierten Polynome von Grad 2 in F₅ aufschreiben (so extrem viele sind das nämlich auch nicht) und ebenfalls wieder Probieren. Es stellt sich heraus, dass g=X²+3 geeignet ist. 

Die gesuchte Faktorisierung ist daher f=X(X+1)(X+2)(X²+3).

 

Diesen Lösungsweg finde ich persönlich leider etwas unbefriedigend, weil da viel Probieren involviert ist, funktionieren tut's aber. Zu empfehlen ist übrigens dieser Online-Rechner (https://de.planetcalc.com/8344/), mit dem ich selbst die Faktorisierung gefunden habe um mir die oben beschriebene Probier-Arbeit zu sparen ;)

 

Die Videos von Mathefreaker2021 helfen wahrscheinlich nicht wirklich, weil's nie um Faktorisierung von Polynomen in endlichen Körpern geht. Eine Zerlegung über beispielsweise Q hilft aber nur, wenn das Polynom da schon in "passende" Faktoren zerfällt, zB in Linearfaktoren zu ganzzahligen Nullstellen oder Faktoren von Grad 2 mit ganzzahligen Koeffizienten. Das ist bei deinem Polynom leider nicht der Fall.

 

Ich bin mir recht sicher, dass es effizientere Wege gibt als den oben beschriebenen, was smarteres fällt mir aber leider so spontan nicht ein.

Frag' gern nochmal nach, wenn du diesen Weg gehen möchtest und bei den einzelnen Schritten noch Unterstützung brauchst :)