+0  
 
0
2
1
avatar+794 

Let a and b be the roots of the quadratic x^2 - 5x + 3 = 2x^2 + 15x - 10.  Find the quadratic whose roots are a^2 + a + 1 and b^2 + b + 1.

 Jan 6, 2024
 #1
avatar+126665 
+1

Simplify as

 

x^2 + 20x - 13  =  0 

 

Sum of the roots                                                              Product  of the roots

a + b =  -20        square both sides                                     ab =  -13

a^2 + 2ab + b^2  = 400                                                        2ab = -26

 

So

 

a^2 - 26  +b^2  =  400

a^2 + b^2  =  426

 

So   let our quadratic  be     mx^2  + nx +  p       and     let  m  = 1

 

(a^2 + a + 1)  + (b^2 + b + 1)   =    -n

 

(a^2 + b^2) + (a + b)  + 2  =   -  n

 

426  - 20  + 2   = -n

 

408  = -n

 

n = -408

 

And   finding the roots   for  

x^2 + 20x  = 13

x^2 + 20x + 100 =  13 + 100

(x + 10)^2   =113

x+ 10  =sqrt (113)

x = sqrt (113)  -10    =  a             and          -sqrt (113) - 10   =  b

 

a^2  =  113 - 20sqrt (113) + 100  = 213 -20sqrt (113)             

b^2  = 113 + 20sqrt (113) + 100 =   213 + 20sqrt (113)

 

(a^2 + a + 1)  =  (213 - 20sqrt (113)   + sqrt (113) -10 + 1) =  (204 - 19sqrt (113)

 

 

(b^2 + b + 1)  =        (213 + 20sqrt (113)   - sqrt (113)  -10 + 1)    =   (204 + 19sqrt (113)

 

p = (204 -19sqrt (113)) (204 + 19sqrt (113))  =  204^2 - 361*113 =    823

 

Our polynomial (quadratic)  is

 

x^2   - 408x +  823

 

cool cool cool

 Jan 6, 2024

4 Online Users

avatar