+10 Hallo,
kann mir jemand sagen wie ich das zu berechnen habe.
Ich wäre über jede Antwort dankbar.
Die Aufgabe lautet:
Welche der folgenden Grenzwerte existieren ?
Bestimmen sie gegebenfalls den Grenzwert mit der Regel von Bernoulli / de l'Hospital
a.) limx ->0 sin(5x) / sin(2x)
b.) limx ->0 cos(x) - 1 / x2
c.) limx (der pfeil hier ist etwas schräg kann es aber leider nicht eintippen) 0 ln(cos(x)) / ln(cos(3x))
Danke im Voraus.
+26367 Welche der folgenden Grenzwerte existieren ?
Bestimmen sie gegebenfalls den Grenzwert mit der Regel von Bernoulli / de l'Hospital
a.)
\(\displaystyle \lim \limits_{x\to 0} \dfrac{\sin(5x)}{\sin(2x)} \)
Bernoulli / de l'Hospital:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \mathbf{\lim \limits_{x\to 0} \dfrac{\sin(5x)}{\sin(2x)} }\\\\ &=& \lim \limits_{x\to 0} \dfrac{5\cos(5x)}{2\cos(2x)} \\\\ &=& \dfrac{5\cos(0)}{2\cos(0)} \quad & | \quad \cos(0)=1 \\\\ &=& \dfrac{5\cdot 1}{2\cdot 1} \\\\ &\mathbf{=}& \mathbf{ \dfrac{5 }{2 } } \\ \hline \end{array}\)
+26367 Welche der folgenden Grenzwerte existieren ?
Bestimmen sie gegebenfalls den Grenzwert mit der Regel von Bernoulli / de l'Hospital
b.)
\(\displaystyle \lim \limits_{x\to 0} \dfrac{\cos(x) - 1}{x^2}\)
Bernoulli / de l'Hospital:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \mathbf{\lim \limits_{x\to 0} \dfrac{\cos(x) - 1}{x^2} } \quad & | \quad \text{1. Bernoulli / de l'Hospital } \\\\ &=& \lim \limits_{x\to 0} \dfrac{-\sin(x)}{2x} \quad & | \quad \text{2. Bernoulli / de l'Hospital } \\\\ &=& \lim \limits_{x\to 0} \dfrac{-\cos(x)}{2} \\\\ &=& \dfrac{-\cos(0)}{2} \quad & | \quad \cos(0)=1 \\\\ &\mathbf{=}& \mathbf{ -\dfrac{1}{2} } \\ \hline \end{array}\)
+26367 Welche der folgenden Grenzwerte existieren ?
Bestimmen sie gegebenfalls den Grenzwert mit der Regel von Bernoulli / de l'Hospital
c.)
\(\displaystyle \lim \limits_{x\to 0} \dfrac{\ln\Big(\cos(x) \Big)} {\ln\Big(\cos(3x)\Big)}\)
Bernoulli / de l'Hospital:
\(\begin{array}{|rcl|} \hline && \mathbf{\lim \limits_{x\to 0} \dfrac{\ln\Big(\cos(x) \Big)} {\ln\Big(\cos(3x)\Big) } } \quad | \quad \text{Bernoulli / de l'Hospital } \\\\ &=& \lim \limits_{x\to 0} \dfrac{\dfrac{-\sin(x)}{\cos(x)}} {\dfrac{-3\sin(3x)}{\cos(3x)} } \\\\ &=& \lim \limits_{x\to 0} \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{\sin(x)\cos(3x)} {\cos(x)\sin(3x)} \\\\ && \begin{array}{|rcl|} \hline \sin(x)\cos(3x) &=& \dfrac12\cdot \Big( \sin(x-3x)+ \sin(x+3x) \Big) \\ &=& \dfrac12\cdot \Big( \sin(-2x)+ \sin(4x) \Big) \\ &=& \dfrac12\cdot \Big( \sin(4x)-\sin(2x) \Big) \\ &=& \dfrac12\cdot \Big( 2\sin(2x)\cos(2x)-\sin(2x) \Big) \\ &=& \dfrac12\cdot\sin(2x) \Big( 2\cos(2x)-1 \Big) \\ \hline \end{array}\\ && \begin{array}{|rcl|} \hline \sin(3x)\cos(x) &=& \dfrac12\cdot \Big( \sin(3x-x)+ \sin(3x+x) \Big) \\ &=& \dfrac12\cdot \Big( \sin(2x)+ \sin(4x) \Big) \\ &=& \dfrac12\cdot \Big( \sin(4x)+\sin(2x) \Big) \\ &=& \dfrac12\cdot\sin(2x) \Big( 2\cos(2x)+1 \Big) \\ \hline \end{array}\\\\ &=& \lim \limits_{x\to 0} \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{\dfrac12\cdot\sin(2x) \Big( 2\cos(2x)-1 \Big)} {\dfrac12\cdot\sin(2x) \Big( 2\cos(2x)+1 \Big)} \\\\ &=& \lim \limits_{x\to 0} \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{\Big( 2\cos(2x)-1 \Big)} {\Big( 2\cos(2x)+1 \Big)} \\\\ &=& \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{\Big( 2\cos(0)-1 \Big)} {\Big( 2\cos(0)+1 \Big)} \quad | \quad \cos(0)=1 \\\\ &=& \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{\Big( 2\cdot 1-1 \Big)} {\Big( 2\cdot 1+1 \Big)} \\\\ &=& \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{ 1 } { 3 } \\\\ &\mathbf{=}& \mathbf{ \dfrac{1}{9} } \\ \hline \end{array}\)
+31 echt nett von dir. Dankeeee 
Also ist b.) kein Grenzwert, da es eine negative Zahl ist oder ?
Eine Frage hätte ich da noch, bei c.) hab ich ja gesagt dass der Pfeil etwas schräg ist hier ein Bild damit es etwas deutlicher wird. Ändert sich das Ergebnis der Aufgabe bezüglich des Pfeiles ?
+26367 c.)
hab ich ja gesagt dass der Pfeil etwas schräg ist hier ein Bild damit es etwas deutlicher wird.
Ändert sich das Ergebnis der Aufgabe bezüglich des Pfeiles ?
\(\displaystyle \lim \limits_{x\searrow 0} \dfrac{\ln\Big(\cos(x) \Big)} {\ln\Big(\cos(3x)\Big) } \qquad \text{von rechts annähern}\)
\(\begin{array}{|rcll|} \hline x &=& 0+\dfrac{1}{n} \\ &=& \dfrac{1}{n} \\ \hline \end{array}\)
\(\displaystyle \lim \limits_{n\to \infty} \dfrac{\ln\Big(\cos(\frac{1}{n}) \Big)} {\ln\Big(\cos(\frac{3}{n})\Big) }\)
Bernoulli / de l'Hospital
\(\begin{array}{|rcl|} \hline && \mathbf{\lim \limits_{n\to \infty} \dfrac{\ln\Big(\cos(\frac{1}{n}) \Big)} {\ln\Big(\cos(\frac{3}{n})\Big) } } \quad | \quad \text{Bernoulli / de l'Hospital } \\\\ &=& \lim \limits_{n\to \infty} \dfrac{\dfrac{-\sin(\frac{1}{n})}{\cos(\frac{1}{n})}} {\dfrac{-3\sin(\frac{3}{n})}{\cos(\frac{3}{n})} } \\\\ &=& \lim \limits_{n\to \infty} \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{\sin(\frac{1}{n})\cos(\frac{3}{n})} {\cos(\frac{1}{n})\sin(\frac{3}{n})} \\\\ && \begin{array}{|rcl|} \hline \sin(\frac{1}{n})\cos(\frac{3}{n}) &=& \dfrac12\cdot \Big( \sin(\frac{1}{n}-3\cdot \frac{1}{n})+ \sin(\frac{1}{n}+3\cdot \frac{1}{n}) \Big) \\ &=& \dfrac12\cdot \Big( \sin(-2\cdot \frac{1}{n})+ \sin(4\cdot \frac{1}{n}) \Big) \\ &=& \dfrac12\cdot \Big( \sin(4\cdot \frac{1}{n})-\sin(2\cdot \frac{1}{n}) \Big) \\ &=& \dfrac12\cdot \Big( 2\sin(2\cdot \frac{1}{n})\cos(2\cdot \frac{1}{n})-\sin(2\cdot \frac{1}{n}) \Big) \\ &=& \dfrac12\cdot\sin(2\cdot \frac{1}{n}) \Big( 2\cos(2\cdot \frac{1}{n})-1 \Big) \\ \hline \end{array}\\ && \begin{array}{|rcl|} \hline \sin(\frac{3}{n})\cos(\frac{1}{n}) &=& \dfrac12\cdot \Big( \sin(3\cdot \frac{1}{n}-\frac{1}{n})+ \sin(3\cdot \frac{1}{n}+\frac{1}{n}) \Big) \\ &=& \dfrac12\cdot \Big( \sin(2\cdot \frac{1}{n})+ \sin(4\cdot \frac{1}{n}) \Big) \\ &=& \dfrac12\cdot \Big( \sin(4\cdot \frac{1}{n})+\sin(2\cdot \frac{1}{n}) \Big) \\ &=& \dfrac12\cdot \Big( 2\sin(2\cdot \frac{1}{n})\cos(2\cdot \frac{1}{n})+\sin(2\cdot \frac{1}{n}) \Big) \\ &=& \dfrac12\cdot\sin(2\cdot \frac{1}{n}) \Big( 2\cos(2\cdot \frac{1}{n})+1 \Big) \\ \hline \end{array}\\\\ &=& \lim \limits_{n\to \infty} \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{\dfrac12\cdot\sin(2\cdot \frac{1}{n}) \Big( 2\cos(2\cdot \frac{1}{n})-1 \Big)} {\dfrac12\cdot\sin(2\cdot \frac{1}{n}) \Big( 2\cos(2\cdot \frac{1}{n})+1 \Big)} \\\\ &=& \lim \limits_{n\to \infty} \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{\Big( 2\cos(2\cdot \frac{1}{n})-1 \Big)} {\Big( 2\cos(2\cdot \frac{1}{n})+1 \Big)} \quad |\quad \lim \limits_{n\to \infty} \frac{1}{n} = 0 \\\\ &=& \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{\Big( 2\cos(0)-1 \Big)} {\Big( 2\cos(0)+1 \Big)} \quad | \quad \cos(0)=1 \\\\ &=& \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{\Big( 2\cdot 1-1 \Big)} {\Big( 2\cdot 1+1 \Big)} \\\\ &=& \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{ 1 } { 3 } \\\\ &\mathbf{=}& \mathbf{ \dfrac{1}{9} } \\ \hline \end{array} \)
