+31 Hallo,
ich bräuchte dringends Hilfe.
Die Aufgabe lautet: bestimmen Sie mit Hilfe der Partialbruchzerlegung den grenzwert der folge.
nun habe ich versucht die Partialbruchzerlegung zu rechnen es kommt mir aber falsch rüber und ich komm bei den Rest der Aufgabe auch nicht mehr klar.
Danke im Voraus.
+12527 Hier ist erst mal die Partialbruchzerlegung:
Oder ist die Partialbruchzerlegung mit Hilfe der Grenzwertmethode gemeint?
+12527 Dazu braucht man erst mal die Summenforrmel. Die kann man sich mit Hilfe von Werten überlegen.
Vielleicht kannst Du meine Überlegungen nachvollziehen.
Um den Grenzwert ermitteln zu können, muss man die höchste vorkommende Potenz ausklammern und kürzen.
1/x oder 2/3 usw. gehen gegen Null, wenn x gegen Unendlich geht.
+26367 Hallo,
ich bräuchte dringends Hilfe.
Die Aufgabe lautet: bestimmen Sie mit Hilfe der Partialbruchzerlegung den grenzwert der folge.
nun habe ich versucht die Partialbruchzerlegung zu rechnen es kommt mir aber falsch rüber und ich komm bei den Rest der Aufgabe auch nicht mehr klar.
Danke im Voraus.
Wie berechne ich den Grenzwert der Folge ?
\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \mathbf{\displaystyle \sum \limits_{k=0}^{n}\dfrac{4}{(2k+1)(2k+3)} } \\\\ &=& \displaystyle 4\sum \limits_{k=0}^{n}\dfrac{1}{(2k+1)(2k+3)} \\\\ &=& \displaystyle 4\sum \limits_{k=0}^{n} \dfrac12\left( \dfrac{1}{2k+1}-\dfrac{1}{2k+3}\right ) \\\\ &=& \displaystyle 2\sum \limits_{k=0}^{n} \left( \dfrac{1}{2k+1}-\dfrac{1}{2k+3}\right ) \\\\ &=& 2 \Big[ \left(\dfrac11 - \dfrac13\right)+\left(\dfrac13 - \dfrac15\right)+ \left(\dfrac15 - \dfrac19\right)+ \ldots \\ && +\left( \dfrac{1}{2n+1} - \dfrac{1}{2k+3}\right) \Big] \\\\ &=& 2 \Big[\mathbf{1} + \left(-\dfrac13+\dfrac13\right)+ \left(-\dfrac15+\dfrac15\right) + \left(-\dfrac19+\dfrac19\right) + \ldots \\ && + \left(-\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+1} \right) \mathbf{- \dfrac{1}{2n+3}} \Big] \qquad \text{Teleskopreihe} \\\\ \mathbf{\displaystyle \sum \limits_{k=0}^{n}\dfrac{4}{(2k+1)(2k+3)} }&\mathbf{=}& \mathbf{2 \left(1 - \dfrac{1}{2n+3} \right) } \\ \hline \end{array}\)
Grenzwert der Folge:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \lim \limits_{n\to \infty} 2 \left(1 - \dfrac{1}{2n+3} \right) \\\\ &=& \lim \limits_{n\to \infty} \left(2 - \dfrac{2}{2n+3} \right) \\\\ &=& \lim \limits_{n\to \infty} \left(2 - \dfrac{2}{2n+3} \cdot \left(\frac nn \right) \right) \\\\ &=& \lim \limits_{n\to \infty} \left(2 - \dfrac{\frac{2}{n}}{2+\frac{3}{n}} \right) \quad | \quad n > 0! \\\\ &=& 2 - \dfrac{0}{2+0} \\\\ &=& 2 - 0 \\\\ &\mathbf{=}& \mathbf{ 2 } \\ \hline \end{array}\)
Der Grenzwert der Folge ist 2
