+31 Hallo.
ich brauche dringend eure Hilfe. Ich habe keinen Schimmer wie ich das berechnen soll.
Die Aufgabe lautet:
Gegeben sei die Funktion f(x) = 2 / 1-x 2
Zeigen Sie (mit vollständiger Induktion), dass die n-te (n EN) Ableitung von f von folgender Form ist:
f(n) (x) = n! (1/ (1-x)n+1 + (-1)n 1/(1+x)n+1 )
Hinweis: Die nullte Ableitung f(0) ist die Funktion selber. also f(0) (x) = f (x) .Ansonsten ist z.B. f(3) nur eine andere Schreibweise für f"'(x)
Danke im Voraus.
+26367 Gegeben sei die Funktion
\(f(x) = \dfrac{2}{1-x^2}\)
Zeigen Sie (mit vollständiger Induktion), dass die n-te Ableitung von f von folgender Form ist:
\(f^{(n)} (x) = n! \left(\dfrac{1}{(1-x)^{n+1} }+ (-1)^n \dfrac{1}{(1+x)^{n+1}} \right)\)
Induktionsanfang für \(n_0\) gilt:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline f^{(0)} (x) &=& 0! \left(\dfrac{1}{(1-x)^{0+1} }+ (-1)^0 \dfrac{1}{(1+x)^{0+1}} \right) \\\\ &=& 1\cdot \left(\dfrac{1}{1-x }+ 1\cdot \dfrac{1}{1+x} \right) \\\\ &=& \dfrac{1+x+1-x}{(1-x)(1+x) } \\\\ &=& \dfrac{2}{1-x^2}~ \checkmark \qquad f^{(0)} (x) = f (x)\\ \hline \end{array} \)
Induktionsvoraussetzung (I.V.):
Für ein beliebiges \(n \in \mathbb{Z}\) mit \(n \ge n_0\) gilt:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline f^{(n)} (x) &=& n! \left(\dfrac{1}{(1-x)^{n+1} }+ (-1)^n \dfrac{1}{(1+x)^{n+1}} \right) \\ \hline \end{array}\)
Induktionsbehauptung: dann gilt auch für \((n+1)\)
\(\begin{array}{|rcll|} \hline f^{(n+1)} (x) &=& (n+1)! \left(\dfrac{1}{(1-x)^{(n+1)+1} }+ (-1)^{(n+1)} \dfrac{1}{(1+x)^{(n+1)+1}} \right) \\ \hline \end{array} \)
Induktionsschluss: \(f^{(n+1)} (x) = \left(f^{(n)}(x) \right)'\)
\(\begin{array}{|rcll|} \hline \left(f^{(n)}(x) \right)' &=& \left[ n! \left(\dfrac{1}{(1-x)^{n+1} }+ (-1)^n \dfrac{1}{(1+x)^{n+1}} \right) \right]' \\\\ &=& \Big[~ n! \left(~ (1-x)^{-(n+1)} + (-1)^n (1+x)^{-(n+1)} ~\right) ~\Big]' \\\\ &=& n! \Big[~\left(~ (1-x)^{-(n+1)} + (-1)^n (1+x)^{-(n+1)} ~\right) ~\Big]' \\\\ &=& n! \Big(~ -(n+1)(1-x)^{-(n+1)-1}\cdot (-1) + (-1)^n ( -(n+1))(1+x)^{-(n+1)-1}\cdot 1 ~\Big) \\\\ &=& n! \Big(~ (n+1)(1-x)^{-(n+1)-1} + (-1)^n (-(n+1))(1+x)^{-(n+1)-1} ~\Big) \\\\ &=& n!(n+1) \Big(~ (1-x)^{-(n+1)-1} + (-1)^n \cdot (-1)(1+x)^{-(n+1)-1} ~\Big) \\\\ &=& n!(n+1) \Big(~ (1-x)^{-(n+1)-1} + (-1)^n \cdot (-1)^1(1+x)^{-(n+1)-1} ~\Big) \\\\ &=& n!(n+1) \Big(~ (1-x)^{-(n+1)-1} + (-1)^{(n+1)}(1+x)^{-(n+1)-1} ~\Big) \\\\ &=& (n+1)! \Big(~ (1-x)^{-(n+1)-1} + (-1)^{(n+1)}(1+x)^{-(n+1)-1} ~\Big) \\\\ \left(f^{(n)}(x) \right)' &=& (n+1)! \left(~ \dfrac{1}{(1-x)^{(n+1)+1}} + (-1)^{(n+1)} \dfrac{1}{(1+x)^{(n+1)+1}} ~\right)~\checkmark \\ \hline \end{array}\)
