Winkel zwischen Stunden- und Minutenzeiger

Hallo radix!

Schöne Aufgabe !

Mit welcher Formel kann man den Winkel zwischen dem Stunden- und dem Minutenzeiger bei gegebener Uhrzeit berechnen ?

Grundlage dieser Berechnung ist die 12-Stunden-Zählung mit A.M. und P.M.

T ist die gegebene Uhrzeit als Dezimalbruch.

h ist die Stunde, m die Minute und s die Sekunde der gegebenen Uhrzeit.

T = (h + m / 60 + s / 3600) Uhr

∠ gZ = T * 360° / 12 = T * 30°                                          Winkelabstand großerZ zur Null

∠ kZ = (m + s / 60) * 360° / 60 = (m + s / 60) * 6°            Winkelabstand kleinerZ zur Null

∠ zwischen den Zeigern = abs (∠ gZ -∠ kZ)

= abs (T * 30° - (m + s / 60) * 6°)

= abs (T * 30° - 6m° - s° / 10)

= abs ((h + m / 60 +s / 3600) * 30° - 6m° - s° / 10)

= abs (30h° + m° / 2 + s° / 120 - 6m° - s° / 10)

Winkel zwischen den Zeigern der Uhr bei 12-Stunden-Zählung.

 h ist die Stunde, m die Minute und s die Sekunde der gegebenen Uhrzeit.

Formel:

Δα = abs (30h - 11m / 2 - 11s / 120)°

Beispiel:

2:27 Uhr

h = 2 ; m = 27 ; s = 0

abs (30h - 11m / 2 - 11s / 120)°

abs (30 * 2 - 11 * 27 / 2 - 0 * s / 120)° = 88,5°   !!!

6:45:20 Uhr

h = 6 ; m = 27 ; s = 20

abs (30h - 11m / 2 - 11s / 120)°

abs (30 * 6 - 11 * 45 / 2 - 11 * 20 / 120)° = 69,333..°   !!!

Gruß asinus :- )

Ich weiß, wie es geht. Die Lösung schicke ich Euch morgen, falls ich Zeit dazu habe.

Mit welcher Formel kann man den Winkel zwischen dem Stunden- und dem Minutenzeiger bei gegebener Uhrzeit berechnen ?

$$\boxed{~ \Delta \alpha \ensurement{^{\circ}} = 330 \cdot t^h ~ }\qquad \small{\text{ $t$ ist die Zeit in Stunden} }$$   

1. Beispiel:

Uhrzeit 2:27 Uhr

$$t^h = 2+\frac{27}{60} = 2,45~ \rm{h}\\\\ \Delta \alpha \ensurement{^{\circ}} = 330\ensurement{^{\circ}} \cdot 2,45 \rm{h} = 808,5\ensurement{^{\circ}}$$

Vom Winkel muss ein Vielfaches von $$360\ensurement{^{\circ}}$$ abgezogen werden:

$$\Delta \alpha \ensurement{^{\circ}} = 808,5\ensurement{^{\circ}} - 2\cdot 360 \ensurement{^{\circ}} = 88,5\ensurement{^{\circ}}$$

2. Beispiel:

Uhrzeit 6:45:20 Uhr

$$t^h = 6+ \dfrac{ 45~\rm{Min.} + \dfrac{ 20~\rm{Sek.} } {60} } { 60 } = 6,7\overline{5}~ \rm{h}\\\\ \Delta \alpha \ensurement{^{\circ}} = 330\ensurement{^{\circ}} \cdot 6,7\overline{5}~ \rm{h} = 2229,\overline{3}\ensurement{^{\circ}}$$

Vom Winkel muss ein Vielfaches von $$360\ensurement{^{\circ}}$$ abgezogen werden:

$$\Delta \alpha \ensurement{^{\circ}} = 2229,\overline{3}\ensurement{^{\circ}} - 6\cdot 360 \ensurement{^{\circ}} = 69,\overline{3}\ensurement{^{\circ}}$$

3. Herleitung:

$$\\\small{\text{ Winkelgeschwindigkeit gro\ss{}er Zeiger:~}} \omega_1\ensurement{^{\circ}} = \frac{ 360\ensurement{^{\circ}} } {1~\rm{Std.}}\\\\ \small{\text{ Winkelgeschwindigkeit kleiner Zeiger:~}} \omega_2\ensurement{^{\circ}} = \frac{ 360\ensurement{^{\circ}} } {12~\rm{Std.}}\\\\ \boxed{ \small{\text{Winkel = Winkelgeschwindigkeit mal Zeit}} } }\\\\ \small{\text{ Winkel gro\ss{}er Zeiger:~}} \alpha_1\ensurement{^{\circ}} =\omega_1\ensurement{^{\circ}} \cdot t^h }}\\\\ \small{\text{ Winkel kleiner Zeiger:~}} \alpha_2\ensurement{^{\circ}} =\omega_2\ensurement{^{\circ}} \cdot t^h }}\\\\ \small{\text{ Winkeldifferenz gro\ss{}er Zeiger - kleiner Zeiger:~}} \alpha_1 \ensurement{^{\circ}} - \alpha_2 \ensurement{^{\circ}} = \Delta \alpha\ensurement{^{\circ}} }}\\\\ \small{\text{ $ \Delta \alpha\ensurement{^{\circ}} = \alpha_1 \ensurement{^{\circ}} - \alpha_2 \ensurement{^{\circ}} $}}\\ \small{\text{ $ \Delta \alpha\ensurement{^{\circ}} = \omega_1\ensurement{^{\circ}} \cdot t^h -\omega_2\ensurement{^{\circ}} \cdot t^h $}}\\ \small{\text{ $ \Delta \alpha\ensurement{^{\circ}} = \left( \omega_1\ensurement{^{\circ}} -\omega_2\ensurement{^{\circ}} \right) \cdot t^h $}}\\\\ \small{\text{ $ \Delta \alpha\ensurement{^{\circ}} = \left( \frac{ 360\ensurement{^{\circ}} } {1~\rm{Std.}} -\frac{ 360\ensurement{^{\circ}} } {12~\rm{Std.}} \right) \cdot t^h $}}\\ \small{\text{ $ \Delta \alpha\ensurement{^{\circ}} = \left(360\cdot \frac{11}{12} \right) \cdot t^h $}}\\ \small{\text{ $ \Delta \alpha\ensurement{^{\circ}} = 330\cdot t^h $}}$$

Hiermit möchte ich mich bei allen bedanken, die sich um die Berechnungsformel  (Winkel zwischen den Zeigern)  bemüht haben.

DANKE !

Gruß radix !

Hallo radix,

ich habe meine Methode auch mit Sekunden ausprobiert. Es funktioniert. Ich bekomme damit auch das Ergebnis von heureka für 6:45:20.

Hat Spaß gemacht.

Ich kann mich nur wiederholen:

Vielen Dank an alle, die meine Frage verständlich und perfekt gelöst haben und wohl auch noch etwas Spaß daran hatten.

Namentlich möchte ich mich bei   asinus , heureka  und Omi67  bedanken, auf deren Antworten wir uns hoffentlich auch weiter freuen dürfen.

Gruß radix !