Let Q(x)=x^2+box+c, where b and c are integers. If Q((1+sqrt(2)^8)=0, determine b+c

Your question isn't clear; you entered Q((1 + sqrt(2)⁸) = 0.

There are 3 left-parantheses but only 2 right-parantheses.

I'm going to change the expression to:  Q( ( 1 + sqrt(2) )⁸ )  =  0.

 

If  Q(x)  =  x² + bx + c:

 

( 1 + sqrt(2) )⁸  =  577 + 408sqrt(2)

--->   Q( ( 1 + sqrt(2) )⁸ )  =  Q( 577 + 408sqrt(2) )  =  ( 577 + 408sqrt(2) )² + ( 577 + 408sqrt(2) )b + c  =  0

 

( 577 + 408sqrt(2) )²  =  665857 + 470832sqrt(2)

--->   ( 577 + 408sqrt(2) )² + ( 577 + 408sqrt(2) )b + c  =  0    

--->     665857 + 470832sqrt(2) + 577b + 408sqrt(2)b + c  =  0

 

Separate this into two equations, one have square roots, the other without:

--->     665857 + 577b + c  =  0     and     470832sqrt(2) + 408sqrt(2)b  =  0

                                                                                           408sqrt(2)b  =  -470832sqrt(2)

                                                                                                           b  =  -1154

 

When  b = -1154:     665857 + 577b + c  =  0

                       665857 + 577(-1154) + c  =  0

                             665857 - 665858 + c  =  0

                                                    -1 + c  =  0

                                                           c  =  1

 

b + c  =  -1154 + 1  =  -1153