Trigonometry - were did I go wrong?

Q 5f no 6

If Sin Ø + Sin 2Ø = a, & Cos Ø + Cos 2Ø = b

Prove that (a² + b²) (a² + b²-3) =2 b

Sin Ø + Sin 2Ø = a

Let c = Ø+2Ø = 3Ø

and d = Ø-2Ø = -Ø

c + d = 2Ø

c - d = 4Ø

Therefore

a = 2 Sin Ø. Cos 2Ø

&

a² = 4 Sin² Ø. Cos²2 Ø      

Cos Ø + Cos 2Ø = b

Let c = Ø+2Ø = 3Ø

and d = Ø-2Ø = -Ø

c + d = 2Ø

c - d = 4Ø

Therefore

b = 2 Cos Ø. Cos 2Ø

&

b² = 4 Cos² Ø. Cos²2 Ø

a² + b² = 4 Sin² Ø. Cos²2 Ø + 4 Cos² Ø. Cos²2 Ø

=   4 Cos²2 Ø (Sin² Ø + Cos² Ø) = 4 Cos²2 Ø

Therefore (a² + b²) (a² + b²-3) =

4 Cos²2Ø (4 Cos²2 Ø-3) = 16 Cos⁴ 2Ø – 12 Cos² 2Ø

=4 Cos2Ø (4Cos³2Ø – 3Cos 2Ø)

=4 Cos 2Ø. Cos 6Ø

2b = 4 Cos Ø. Cos 2Ø

Conclusion:

4 Cos Ø. Cos 2Ø = 4 Cos 2Ø. Cos 6Ø

CosØ =  Cos 6Ø  (??????)