Was steckt hinter der Taste Cos?
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\(f(y)=cos(y)=\)
Sie suchen die Formel hinter dem Gleichheitszeichen.
Herleitung mittels Reihenentwicklung
Die eulersche Formel lässt sich aus den maclaurinschen Reihen der Funktionen \(e^y,sin(y)\) und \(cos(y),\color{blue}y\in \mathbb{R}\)herleiten.
\(Eulersche\ Formel\) : \(e^x=cos(y)+i\ sin(y)\)
\(e^{iy}=1+iy+\frac{(iy)^2}{2!}+\frac{(iy)^3}{3!}+\frac{(iy)^4}{4!}\ +...\\ ={\color{blue}(1-\frac{y^2}{2!}+\frac{y^4}{4!}-...)}+i\cdot (y-\frac{y^3}{3!}+\frac{y^5}{!}\ -...)\\ {\color{blue}=cos(y)}+i\cdot sin(y)\)
\(Die\ Umformungen\ basieren\ auf\ i^2 = -1.\\ F\ddot ur\ y= \pi\ \text{ergibt sich aus der eulerschen Formel}\\ \text{die sogenannte}\ \color{blue}Eulersche\ Idendit\ddot at.\\ \)
\(\Large e^{ix}=-1\)
Die gesuchte Formel heißt:
\(cos(y)=1-\frac{y^2}{2!}+\frac{y^4}{4!}-...\\ sin(y)=y-\frac{y^3}{3!}+\frac{y^5}{5!}-...\\ \ |\ y\in \mathbb R\)
So berechnet das der Rechner beim Betätigen von cos beziehungsweise sin.
Die im Beispiel genannte Angabe von \(60^0\) muß vorher in eine reelle Zahl umgewandelt werden.
\(\alpha=60^0 \cdot\frac{\pi}{180^0}=\frac{\pi}{3}\)
Im Status |Deg| nimmt uns der Rechner das ab. Man gibt ein:
|cos| 60 | = | \(\to\) 0,5
Im Status |Rad| wird eingegeben:
\(cos(\frac{\pi}{3})=\ \to \ 0,5\)
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