Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n:
\(\sum_{n = 0}^{n} \frac{1}{(n+1)(n+2)}=1-\frac{1}{n+2}\)
Vollständige Induktion:
\(\sum_{n = 0}^{n} \frac{1}{(n+1)(n+2)}=1-\frac{1}{n+2}\)
Induktionsanfang:
n = 0:
linke Seite: \(\frac{1}{(0+1)(0+2)}=\color{blue}\frac{1}{2}\)
rechte Seite: \(1-\frac{1}{0+2}=\color{blue}\frac{1}{2}\)
Für n = 0 sind beide Seiten gleich, und die Aussage ist wahr.
Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:
\(\sum_{n = 0}^{n} \frac{1}{(n+1)(n+2)}=1-\frac{1}{n+2}\)
Induktionsschluss:
n + 1 :
linke Seite:
\(\frac{1}{(n+1)(n+2)}+ \frac{1}{(n{\color{blue}+1}+1)(n{\color{blue}+1}+2)}\\ =\frac{1}{(n+1)(n+2)}+ \frac{1}{(n+2)(n+2)}\\ =\frac{1}{n+2} (\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2})\\ =\frac{(n+2)+(n+1)}{ (n+1)(n+2)(n+2) }\\ =\frac{2n+3}{(n+1)(n+2)(n+2)}\)
rechte Seite:
\(1-\frac{1}{n{\color{blue}+1}+2}\\ =1-\frac{1}{n+3}\)
Keine Lösung. Ich mache irgendeinen Denkfehler.
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