\(f(x)=x^4+x^3+x^2+x\)
Zeigen, dass eine Nullstelle bei x=-1 ist:
\(f(-1)=(-1)^4+(-1)^3+(-1)^2+(-1)\\ f(-1)=1-1+1-1=0\)
Berechnung der restlichen Nullstellen:
\(0=x^4+x^3+x^2+x\)
Da in allen Termen "x" vorkommt, wird offensichtlich die ganze Funktion 0, wenn x=0 ist. Folglich gilt:
\(x_1=-1; x_2=0\)
Nun teile ich die Gleichung durch x:
\(0=x^4+x^3+x^2+x\space\space\space\space\space|:x\\ \frac{0}{x}=\frac{x^4}{x}+\frac{x^3}{x}+\frac{x^2}{x}+\frac{x}{x}\\ 0=x^3+x^2+x+1\)
Eine Gleichung mit einer Dreierpotenz (x³) können wir nicht mit der PQ-Formel bearbeiten oder anderswie nach x auflösen. Wir wissen aber, dass bei x=-1 eine Nullstelle ist. Wir können also mit einer Polynomdivision (x+1) aus der Gleichung rausziehen und haben dann nur noch einer Zweierpotenz (x²).
\(\space\space\space\space(x^3+x^2+x+1):(x+1)=x^2+1\\ -\underline{(x^3+x^2)}\\\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space0\\ \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space x+1\\ \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space -\underline{(x+1)}\\ \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space0 \)
Die noch verbliebenen Nullstellen erhalten wir also, wenn wir die Gleichung
\(0=x^2+1\)
nach x auflösen,
Da es keinen Term mit einem x ohne Potenz gibt, können wir einfach 1 abziehen und dann die Wurzel ziehen:
\(0=x^2+1\space\space\space\space\space|-1\\ -1=x^2\space\space\space\space\space|\sqrt{}\\ \sqrt{-1}=x_{3,4}\)
Problem bei der Sache ist: man kann aus -1 nicht die Quadratwurzel ziehen, weil es keine Zahl gibt, die mit sich selbst multipliziert -1 ergibt.
Also gibt es keine weiteren Nullstellen.
Die Antwort lautet also:
Nullstellen der Funktion befinden sich bei \(x_1=0; x_2=-1\)
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