Hier geht es ja um Potenzgesetze. Eins lautet, dass wenn ich einen Wert in einer Klammer mit einer Potenz außerhalb der Klammer potenziere, dann muss ich den Exponenten in der Klammer mit dem Exponenten außerhalb der Klammer multiplizieren:
\((a^x)^y=a^{x*y}\)
Dem zu Folge gilt:
\((3^{2})^{(2x-1)}=3^{4x-2}\)
weil
\(2*(2x-1)=4x-2\)
ist. Das erklärt die rechte Seite der Gleichung.
Auf der linken Seite wrd mit
\((3^4)^{x+1}=3^{4x+4}\)
Das gleiche gemacht.
Die Gleichung sieht dann also so aus:
\(3^{4x+1}+3^{4x+4}=3^{4x-2}\)
Was man sofort sehen kann ist, dass sehr oft \(3^{4x}\) in der Gleichung vorkommt.
Nun kommt ein weiteres Potenzgesetz zum Einsatz:
Wenn man 2 Potenzen mit gleicher Basis multipliziert, kann man die Exponenten addieren:
\(a^x*a^y=a^{x+y}\)
Das gilt natürlich auch umgekehrt:
\(a^{x+y}=a^x*a^y\)
In der Aufgabe hier könnte man also auch folgendes tun:
\(3^{4x+1}=3^{4x}*3^1\\ 3^{4x+4}=3^{4x}*3^4\\ 3^{4x-2}=3^{4x}*3^{-2}\)
Die Gleichung sähe dann so aus:
\(3^{4x}*3^{1}+3^{4x}*3^{4}=3^{4x}*3^{-2}\)
Jetzt kann man \(3^{4x}\) auf beiden Seiten leicht ausklammern:
\(3^{4x}(3^1+3^{4})=3^{4x}(3^{-2})\)
Da wir jetzt auf beiden Seiten Produkte haben, wo jeweils \(3^{4x}\) ein Faktor ist, kann man nun durch \(3^{4x}\)teilen und erhält:
\(3+3^4=3^{-2}\)
Somit ist das \(3^{4x}\) einfach weggefallen.
Wenn ich die Konstanten auf beiden Seiten der Gleichung jedoch ausrechne ...
\(3+3^4=3^{-2}\\ 3+81=\frac{1}{3^2}\\ 84=\frac{1}{9}\)
... wird klar, dass die Gleichung unlösbar sein muss, denn 84 ist ja nicht gleich \(\frac{1}{9}\)
Aber ich greife mal auf, was die von Dir gezeigte Teillösung ergeben würde - unter Anwendung derselben Potenzgesetze, die ich hier schon geschildert habe:
\((1+27)*3^{4x+1}=3^{4x-2}\)
Den Wert in der Klammer rechne ich zusammen:
\(28*3^{4x+1}=3^{4x-2}\)
Jetzt dividiere ich durch \(3^{4x+1}\)
\(28=\frac{3^{4x-2}}{3^{4x+1}}\)
Man kann wiederum die Exponenten aufteilen, indem man sie über 2 gleiche Basen verteilt, die man multipliziert:
\(28=\frac{3^{4x}*3^{-2}}{3^{4x}*3^{1}}\)
Wenn man es so sieht sollte sofort auffallen, dass man die beiden \(3^{4x}\)gegeneinander kürzen kann. Übrig bleibt:
\(28=\frac{3^{-2}}{3}\)
Zahlen mit negativem Exponenten wandern vom Zähler in den Nenner, wenn sie im Zähler stehen. Der Exponent wird dann positiv:
\(28=\frac{1}{3*3^2}\)
Das kann man wiederum ausrechnen:
\(28=\frac{1}{3*9}\\ 28=\frac{1}{27}\)
Auch dies beweist, dass die Gleichung nicht lösbar ist.
