geno3141

To find out how long it takes an amount to double, you can use this formula:  t  =  ln(2) / r

where  t = time  and  r = rate (written as a decimal).

For example, if you want to know how many years that it takes a population of 22,350,000 to double if the yearly population rate increase is 9%, use:  t  =  ln(2) / 0.09   --->   t = 7.7 years (approximately).

The beginning population is not used in the calculation.

Solve:     x² + y²  =  26     and     x + y  =  6

Solve the linear equation for either  x  or  y:     x + y  =  6     --->     y  =  6 - x

Replace this value into the other equation:     x² + y²  =  26

                                                                        x² + (6 - x)²  =  26

Simplify:                                                 x² + 36 - 12x + x²  =  26

                                                                    2x² - 12x + 36  =  26

                                                                    2x² - 12x + 10  =  0

Divide by 2:                                                       x² - 6x + 5  =  0

Factor:                                                            (x - 5)(x - 1)  =  0

Solve:                                                                    x = 5     or     x = 1

Substitute these values into the other equation:

     x = 5     --->     x + y  =  6                                    x = 1     --->     x + y  =  6

                             5 + y  =  6                                                           1 + y  =  6

                                   y  =  1     --->     (5, 1)                                        y  =  5     --->     (1, 5)

Solve for  x  and  y:                                x² - 11x - y  =  -24

                                                              x² - 11x + y  =  -24

Add down the columns:                       2x² - 22x       =  -48

Divide by 2:                                           x² - 11x        =  -24

Add 24 to both sides:                          x² - 11x + 24  =  0

Factor:                                                 (x - 8)(x - 3)  =  0

Solve:                                                 x  =  8     or     x  =  3

Replace  x  in the first equation:  x² - 11x - y  =  -24

                                               (8)² - 11(8) - y  =  -24               (3)² - 11(3) - y  =  -24

                                                     64 - 88 - y  =  -24                        9 - 33 - y  =  -24      

                                                           -24 - y  =  -24                            -24 - y  =  -24

                                                                  -y  =  0                                       -y  =  0

                                                                   y  =  0                                         y  =  0

                                                           --->     (8, 0)                                 --->   (3, 0)

You would have gotten the same  y-values had you replaced  x  in the second equation.

(-3x³ + 5x + 2) / (x² - 1)

=  [ (x + 1)(-3x² + 3x + 2) ] / [ (x + 1)(x - 1) ]

=  (-3x² + 3x + 2) / (x - 1) 

To find two numbers wose difference is 538:

If one number is  x  then the other number is  x - 538.

For example:  if  x = 57  then  x - 538  =  57 - 538  =  -481     --->     57  and  -481

Check:  57 -  -481  =  57 + 481  =  538.

Let the number be  x.

40% of x  is  0.40 · x  =  0.40x

0.40x + x  =  168

0.40x + 1.00x  =  168

             1.40x  =  168

                    x  =  168 / 1.40

                    x  =  120

To find an absolute value equation that has the solutions  -6  and  10:

First:       find the midpoint between these numbers (their average):  (-6 + 10) / 2  =  4/2  =  2

               The average can be either a positive number or a negative number.

Second:  find the distance between this average and either of the numbers:  the distance from  2  to  10  is  8.

               Remember:  the distance must be a positive number.

Finally:    place these numbers into this equation:  | x - average |  =  distance     --->     | x - 2 |  =  8     <--- the answer

Now, can you do problem #2?

(27a⁶)^-2/3

Since 27 = 3³:

=  (3³a⁶)^-2/3

=  (3³)^-2/3·(a⁶)^-2/3

=  (3^3·-2/3)·(a^6·-2/3)

=  (3^-2)·(a^-4)

=  (1/9)·(1/a⁴)

=  1 / (9a⁴)

(5 + p)(p - 2)

  =  5(p - 2) + p(p - 2)

  =  5(p) - 5(2) + p(p) - p(2)

  =    5p    -   10    +  p²      -  2p

  =        p² + 3p - 10 

To find the points of intersection of  y  =  x³ - x² + 2  and  y = x² + 15x + 2  by substitution:

Set the equations equal to each other:  x³ - x² + 2  =  x² + 15x + 2

Subtract  x² + 15x + 2  from both sides:  x³ - x² + 2 - (x² + 15x + 2)  =  0

Simplify:                                                       x³ - x² + 2 - x² - 15x - 2  =  0

                                                                                    x³ - 2x² - 15x  =  0

Factor:                                                                         x(x - 5)(x + 3)  =  0

The solutions are:                                                x = 0     and     x = 5     and     x = -3

Placing these values for x back into  y = x² + 15x + 2  gives these corresponding values for y:

           x = 0    --->   y  =  (0)² + 15(0) + 2      --->   y = 2         --->     (0, 2)

           x = 5    --->   y  =  (5)² + 15(5) + 2      --->   y = 102     --->     (5, 102)

           x = -3   --->   y  =  (-3)² + 15(-3) + 2   --->   y = -34      --->     (-3, -34)

So, (a) is correct.