GlgantusDionysios

Da nacrtamo parabolu sa osom simetrije $x = 3$, $x$-presjekom na $x = -8$ i $y$-presjekom $5$, možemo početi identifikacijom jednačine parabole.

Jednačina parabole sa osom simetrije $x = a$ i $y$-presjekom $b$ data je na sljedeći način:

$$y = ax^2 + b$$

U ovom slučaju znamo da je osa simetrije $x = 3$, pa možemo zapisati jednačinu kao:

$$y = 3x^2 + 5$$

Sada možemo pronaći $x$-presret postavljanjem $y = 0$ i rješavanjem za $x$.

$$0 = 3x^2 + 5$$

Oduzimanje $5$ sa obe strane dobijamo:

$$-5 = 3x^2$$

Podijelimo obje strane sa $3$ daje nam:

$$-1/3 = x^2$$

Uzimanje kvadratnog korijena obje strane daje nam:

$$x = \pm \sqrt{1/3}$$

Dakle, $x$-presretak je $x = -2\sqrt{1/3} = -8$.

Sada možemo prikazati parabolu pomoću jednačine $y = 3x^2 + 5$. Da bismo to učinili, prvo možemo nacrtati $x$-presretak, koji je $x = -8$, a zatim pomoću jednačine pronaći odgovarajuće $y$-vrijednosti za svaku $x$-vrijednost.

Evo grafika parabole:

📈

Kao što vidite, parabola se otvara prema gore i ima minimalnu vrijednost od $5$ na $x = -8$. Osa simetrije je $x = 3$, a $x$-presjek je $x = -8$.

Da bismo pronašli površinu regije okružene grafikom od $x^2 + y^2 = 2x - 6y + 6 + 14x - 16y + 80$, možemo početi pojednostavljivanjem jednačine. Dopunivši kvadrat za termine $x$ i $y$, dobijamo: $x^2 ​​- 2x + y^2 + 6y = 86$ Sabiranjem i oduzimanjem konstanti za kompletiranje kvadrata imamo: $(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 6y + 9) = 86 + 1 + 9$ Ovo pojednostavljuje na: $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 96$ Upoređujući ovo sa standardnim oblikom jednačine kružnice, $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, možemo identifikovati da data jednadžba predstavlja krug sa centrom na $(1, -3)$ i poluprečnik $\sqrt{96}$. Površina kruga je data formulom $A = \pi r^2$. Zamjenom radijusa u ovu formulu dobijamo: $A = \pi \cdot 96$ Prema tome, površina regiona okruženog grafikom $x^2 + y^2 = 2x - 6y + 6 + 14x - 16y + 80$ iznosi $96\pi$ kvadratnih jedinica.