Probolobo

Alles klar, das klingt machbar. Für welche Jahrgangsstufe soll's denn sein?

Was ist denn ein "Mathinput"?

Der Induktionsanfang ist noch leicht: Wir leiten log(1+x) ab, das liefert 1/(1+x). Setzen wir n=1 in die zu zeigende Formel ein, erhalten wir ebenfalls 1/(1+x). Damit ist der Induktionsanfang abgeschlossen. 

Sei nun die Aussage wahr für eine natürliche Zahl n. Wir zeigen, dass die Aussage dann auch für n+1 stimmt, indem wir die zu zeigende Formel nochmal ableiten:

\([ (-1)^{n-1} \cdot \frac{(n-1)!}{(1+x)^n}]' = \\ [ (-1)^{n-1} \cdot (n-1)!\cdot (1+x)^{-n}]' = \\ (-1)^{n-1} \cdot (n-1)! \cdot (-n) \cdot (1+x)^{-n-1} = \\ (-1)^{n-1} \cdot (n-1)! \cdot (-1)\cdot n \cdot (1+x)^{-(n+1)} = \\ (-1)^{n} \cdot (n)! \cdot (1+x)^{-(n+1)} = \\ (-1)^n \cdot \frac{n!}{(1+x)^{n+1}}\)

Setzen wir für n in der zu zeigenden Formel n+1 ein, so erhalten wir das gleiche Ergebnis. Damit sind wir fertig.

Löse jede Gleichung einzeln. Die Zahlen, die jede Gleichung lösen, bilden die Lösungsmenge deines Gleichungssystems.

Auch auffällig: die linke Seite hat stets die Teiler 2 & 3 (und damit auch 6). Bin noch unsicher ob's wichtig ist, ist aber der Fall.

Eine schöne Frage, die ich leider noch nicht ganz lösen kann, ich lass' trotzdem mal meine Gedanken dazu da:

Die linke Seite hat ja immer die Form 200...0200....02 (2x gleich viele Nullen). Lösungen finden ist (vermute ich) am leichtesten, wenn man m festlegt und nach einem Teiler T der linken Seite sucht, der genau m Stellen hat. Dann ist mit n=T-1 und k=[linke Seite]/T eine Lösung gefunden.

Ich mach's mal vor: 

Mit m=1 ist die linke Seite 222. Ein einstelliger Teiler von 222 ist beispielsweise 2. So finden wir die Lösung n=2-1=1 und k=222/2=111.

Und in der Tat ist die rechte Seite dann 111*(1+1)=222 - passt.

Mit m=2 ist die linke Seite 20202. Ein zweistelliger Teiler von 20202 ist 13. Wir finden n=12 und k=20202/13=1554. Eine weitere Lösung ist gefunden.

Erwähnenswert ist hier auch, dass n trotz dem Abziehen von 1 vom m-stelligen Teiler nie weniger als m Stellen hat. Das wäre nämlich nur der Fall, wenn der m-Stellige Teiler 10^m-1 ist - das ist aber nie der Fall, denn die linke Seite endet stets mit der Ziffer 2.

Die Wahl anderer Teiler mit passender Stellen-Anzahl zu einem festen m liefert neue Lösungen, aber nur endlich viele, das hilft uns also nicht weiter. Das Problem ist aber immerhin reduziert zu folgender Aussage:
Für jede Zahl m hat 2*(1+10^m+10^2m) einen m-stelligen Teiler. 

Das sieht machbar aus, ich geb' hier gern ein Update wenn ich's hinbekommen habe. Der Rest hier im Forum ist natürlich gern eingeladen, den Beweis zu vervollständigen.

Wo hast du denn die Werte für die Gerade her? 

Und: Was genau ist mit "Potenz-Zusammenhang" gemeint? Dass die Punkte auf einer Funktion der Form y=b*a^x liegen?

Grundsätzlich ist folgendes vorgehen zu empfehlen: Ermittle aus zwei Punkten den Funktionsterm, indem du beide einsetzt und das so entstehende Gleichungssystem löst. Dann setzt du die anderen Punkte auch ein, und prüfst, ob die Gleichung dann aufgeht - tut sie das, hast du die Funktion gefunden, auf der alle Punkte liegen. Tut sie das nicht, gibt es keine Funktion von der "Bauart", mit der du angefangen hast.

Ich mach's mal vor für y=b*a^x:

Zuerst setze ich die ersten beiden Punkte ein und erhalte folgendes:

I:  2,9 = b*a^1,1

II: 5,7 = b*a^1,9 

Jetzt löse ich eine der Gleichungen nach b auf:

I: b = 2,9/a^1,1

Das kommt jetzt in die andere Gleichung:

II: 5,7 = 2,9/a^1,1*a^1,9

5,7 = 2,9 * a^0,8   |:2,9

57/29 = a^0,8   |0,8-te Wurzel

2,327 = a

Und daher ist b=2,9/2,327^1,1 = 1,145

Es ergibt sich so folgender Funktionsterm: y = 1,145 * 2,327^x

Nun setze ich die anderen Werte ein, um zu prüfen, ob die Funktion auch zu allen Punkten passt:

1,145*2,327^2,6 = 10,29

Hier geht's schon kaputt: Mit x=2,6 müsste y=7,7 'rauskommen. Die Funktion passt also nicht, es liegt kein Zusammenhang der Form y=b*a^x vor.

-ln(a-x) + ln(a) = ln(a/(a-x))    - das Minus vor ln(a-x) sorgt dafür, dass a-x nach dem Zusammenfassen im Nenner auftaucht.

ln(a-x) + ln(a) = ln( (a-x)*a)     - ohne Minus steht's dann als Faktor dabei.

Bin ehrlich gesagt unsicher, was du da jetzt wissen willst.

Falls der Wert der rechten Rechnung (ohne Einheiten) gesucht ist, kannst du's in den Rechner eintippen.

Sieht eigentlich ganz gut aus, du hast nur einen kleinen Fehler beim sin(2x): Die Zähler sind jeweils (2x)^3, (2x)^5 etc. . Den Faktor 1/2 vorm sin(2x) gibt's ja auch noch, der nimmt in jedem Zähler genau eine 2 raus, dann stimmen sämtliche Brüche in beiden Reihen überein.