Probolobo

Jetzt wäre ich auch dazu gekommen! 

Ich geb' dir wenigstens noch eine Alternative: 0,9375 (also die Nachkommastellen mit einer führenden 0) mal 16 gibt dir auch den gesuchten Rest.

Dein Ansatz ist genau richtig - die Definition nachrechnen ist ein geeignetes Vorgehen.

Dann machen wir das mal: 

(m, n) ~ (a, b) ⇔ m+b = n+a ⇔ b+m = a+n ⇔ (a, b) ~ (m, n) - Symmetrie passt!

Reflexiv: (a, b) ~ (a, b), denn a+b = a+b - passt auch! 

Für Transitivität kommt noch ein drittes Zahlenpaar (x, y) ins Spiel. Aus (m, n) ~ (a, b) und (a, b) ~ (x, y) sollte folgen (m, n) ~ (x, y) - probier's mal aus ;) 

Frag' gern nochmal nach wenn's nicht klappt :)

Ja das kam an soweit, aber welche Zusatzeigenschaft unterscheidet die ideale Dose von den anderen? Gibt ja mehrere (unendlich viele) Zylinder, die ein Volumen von einem Liter haben. 

Und: In welcher Klasse bzw. in welchem Kontext sollst du die Aufgabe denn lösen? Zu meinem Vorschlag für "ideal", also mit minimaler Außenfläche für minimalen Materialverbrauch, habe ich eine Idee, bei der ich mir auch sicher bin, dass die funktioniert, ist aber ein bisschen aufwändig.

Was ist denn mit "ideal" gemeint? Minimale Außenfläche?

Multipliziere zuerst mit dem Nenner, also (2x-1). Dann ist links der Nenner weg und rechts hast du 1/64 * (2x-1). Wenn du alles auf eine Seite bringst (mit Minus), die Klammern auflöst und zusammenfasst kannst du den Rest mit der "Mitternachtsformel" / Lösungsformel für quadratische Gleichungen lösen.

Die obere Aussage ensteht durch die untere durch Multiplikation beider Seiten mit 2^-k , Indexshift und umbenennen der anderen Variable. Ein Induktionsbeweis ist hier nicht mehr notwendig.

Ich zeig's mal:
 

\(\sum_{i=0}^{N-1}2^i =2^N-1 \ \ |\cdot 2^{-k} \\ \sum_{i=0}^{N-1}2^{i-k} =2^{N-k}-2^{-k} \ \ | * \\ \sum_{i=-k}^{N-k-1}2^i = 2^{N-k}-2^{-k} \ \ | n=N-k \\ \sum_{i=-k}^{n-1} 2^i = 2^n - 2^{-k}\)

Warum der Indexshift bei * funktioniert kannst du dir leicht klar machen, wenn du bei beiden Summen das erste und das letzte Summenglied berechnest. Dann siehst du, dass die Glieder alle übereinstimmen. Wenn noch was unklar ist frag' gern nach :)

Ja, da hast du natürlich recht :D ich korrigier's gleich noch.

Tatsächlich ist -0,2⁵ = (-0,2)⁵. Es ist Minus mal Minus mal Minus mal Minus mal Minus gleich Plus. Bei geradem Exponenten macht's aber einen Unterschied.

Klar, auf geht's!

Der Induktionsanfang ist wie bei den meisten Induktionen noch einfach: Für n=1 ist 8+6=14 durch  teilbar.

Sei nun die Aussage wahr für eine Zahl n.

Wir wollen daraus folgern, dass die Aussage jetzt auch für n+1 stimmt.

Wir betrachten daher

8^(n+1)+6 = 

8*8^n + 6 = 

7*8^n + 8^n +6

Per Induktionsvoraussetzung ist 8^n+6 durch 7 teilbar. 7*8^n ist ebenfalls durch 7 teilbar. Die Summe zweier durch 7 teilbarer Zahlen ist immer auch durch 7 teilbar. Damit sind wir fertig.

Wir zeigen zunächst die Beschränktheit:

Das erste Folgenglied ist ja schonmal größer als 1. Das ist unser Induktionsanfang.

Sei nun a_n>1. (Induktionsvoraussetzung)

Dann ist a_n+1 = (2a_n+1)/3 > (2*1+1)/3 = 1.

Es folgt also a_n+1>1. Damit ist gezeigt: Jedes Folgenglied ist größer als 1, die Folge ist nach unten durch 1 beschränkt.

Wir wissen also nun: Es gilt stets a_n>1. Damit folgt:

a_n+1 = (2a_n+1)/3 < (2a_n+a_n)/3 = a_n.

Es folgt a_n+1 n für alle n. Die Folge ist also monoton fallend.