Probolobo

Auch ein Klassiker - für die Aufgabe bezeichnet t die Zeit in Studen. 

Die beiden gegebenen Funktionswerte liefern uns ein Gleichungssystem:

\(I : \ \ \ B_0 \cdot q^3 = 378 \\ II: \ B_0 \cdot q^5 = 689\)

Es ist hier klar, dass in jeder Gleichung beide Gleichungsseiten ungleich 0 sind. Daher kann ich die Gleichungen hier auch durcheinander Teilen, nämlich II:I - das sieht dann so aus:

\(\frac{B_0 \cdot q^5}{B_0 \cdot q^3} = \frac{689}{378} \ \ \ |kürzen \\ q^2 = \frac{689}{378} \ \ \ | \sqrt{.} \\ q = \sqrt{\frac{689}{378}} \approx 1,35 \)

Diesen Wert können wir nun in eine der beiden Gleichungen einsetzen, um B₀ zu bestimmen:

\(B_0 \cdot 1,35^3 = 378 \ \ \ |:1,35^3 \\ B_0 = \frac{378}{1,35^3} \approx 154\)

Damit ist die Funktion B bestimmt durch B(t) = 154 * 1,35^t .

Für die zweite Variante nutze ich ein Potenzgesetz:

\(B(t) = 154 \cdot 1,35^t = 154 \cdot (e^{ln(1,35)})^t = 154 \cdot e^{ln(1,35) \cdot t}\)

Damit sind die Parameter vollständig bestimmt: B₀ = 154, q = 1,35 ; k = ln(1,35).

Danke dir, sowas liest man gern 

Für diese Aufgabe brauchen wir die Formel für das Volumen eines Zylinders:

\(V_Z = r^2 \cdot \pi \cdot h\)

Außerdem gilt: \(m = \rho \cdot V \ \ \ \ \ (\rho = Dichte)\)

Ich setze nun das Zylindervolumen in die Dichtegleichung ein, setze die gegebenen Zahlen (Masse, Dichte und Radius=halber Durchmesser) ein und löse nach h auf:

\(m = \rho \cdot r^2 \cdot \pi \cdot h \\ 25t = 7,9\frac{t}{m^3} \cdot (0,6m)^2 \cdot \pi \cdot h \ \ \ |:( 7,9\frac{t}{m^3} \cdot (0,6m)^2 \cdot \pi) \\ \frac{25t}{ 7,9\frac{t}{m^3} \cdot (0,6m)^2 \cdot \pi} = h \ \ \ |ausrechnen \\ 2,80m = h\)

Bemerkenswert: Wir hatten hier "Glück" und die Einheiten waren schon alle gleich. Sollte das nicht der Fall sein sollte man vor der Rechnung alle gegebenen Größen so umrechnen, dass nur noch gleiche Einheiten vorkommen - dann muss man nicht in der Rechnung noch zusätzlich umrechnen und kann so vielleicht den ein oder anderen Leichtsinnsfehler vermeiden.

\(5+5=10\)

Jo, der Zahlwert passt - so wie's da steht hat i aber keine Einheit.

Würden bei sämtlichen Zahlen auch die entsprechenden Einheiten dabeistehen, könnte man auch noch die "cm^4" verifizieren oder korrigieren.

Um die Aufgabe zu lösen, müssen wir uns zunächst überlegen, wie viel Umfang die Räder haben.

Weil wir die Durchmesser gegeben haben, kennen wir auch die Radien der beiden Räder:

r_k = 0,5m & r_g = 1,25m

Für den Umfang der Räder gilt dann:

\(U_k = 2 \cdot r_k \cdot \pi = 2 \cdot 0,5m \cdot \pi = 3,14m \\ U_g = 2 \cdot r_g \cdot \pi = 2 \cdot 1,25m \cdot \pi = 7,85m \\\)

Jetzt müssen wir nur noch berechnen, wie oft der Umfang jedes Rads in die Strecke 1km=1000m passt:

\(\frac{1000m}{3,14m} = 318,47 \approx 318 \\ \frac{1000m}{7,85m} = 127,39 \approx 127 \\\)

Das kleine Rad macht also 318 Umdrehungen, das große nur 127.

Die Geschwindigkeit des Traktors ist dabei egal.

(Ist bei dem ersten Fragesatz "[...] wenn der Bauer 12km/h fährt" vielleicht noch eine Zeitangabe dabei? So macht der Satz irgendwie wenig Sinn.)

Wenn beide Faktoren das gleiche Vorzeichen haben:
Das Produkt von zwei positiven Zahlen ist sowieso immer positiv, dann gibt es noch die Regel "Minus mal Minus gibt Plus".

Ist eine der Zahlen negativ und die andere positiv, so ist das Produkt immer negativ.

Eine Litfaßsäule ist Zylinderförmig. Die beklebbare Fläche ist die Mantelfläche des Zylinders. 

Für die Mantelfläche gilt \(M = 2\pi \cdot r \cdot h\)

wobei r der Radius des Grundkreises ist und h die Höhe des Zylinders.

Wir müssen hier also nur noch die gegebenen Zahlen in die Formel einsetzen und das ganze in den Rechner eingeben. Das sieht dann so aus:

\(M = 2\pi \cdot r \cdot h = 2\pi \cdot 0,6m \cdot 4m = 15,08m^2\)

Die beklebbare Fläche ist also 15,08m² groß.

Eine Funktion ist eine Relation, die jedem Element der Urbildmenge genau ein Element der Bildmenge zuordnet.

Sinus und Cosinus sind zunächst mal Werkzeuge, um in rechtwinkligen Dreiecken Winkel (oder bei gegebenem Winkel irgendwelche Seiten) zu berechnen. Sie verknüpfen einen Winkel mit einem "Öffnungsfaktor" des Dreiecks könnte man wohl sagen. 

Es ist 

\(sin(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Hypothenuse} \ und \ \ cos(\alpha) = \frac{Ankathete}{Hypothenuse}\)

Die Gegenkathete ist dabei die Kathete, die dem Winkel gegenüber liegt, die Ankathete ist am Winkel dran. Die Hypothenuse ist die längste Seite.

Diese beiden Gleichungen kannst du nutzen, um Seitenlängen oder Winkel zu berechnen. Falls du den Winkel suchst, musst du "den Sinus auf die andere Seite der Gleichung bringen" (bzw cosinus) - und zwar indem du bei deinem Taschenrechner die Funktion \(sin^{-1}\)

(manchmal auch arcsin) nutzt. 

Ist immer schwer, so komplett allgemeine Fragen wirklich zielführend zu beantworten - was genau ist denn das Problem? Hast du Beispielaufgaben, mit denen du nicht zurecht kommst?