Klar, auf geht's!
Der Induktionsanfang ist meistens der leichteste Teil. Wir prüfen, ob die Aussage für die kleinste mögliche Zahl gilt, in dem Fall n=1. Das passiert, indem wir einfach in beide Seiten der zu zeigenden Gleichheit 1 einsetzen und sehen, dass die Aussage stimmt:
\(\Sigma_{k=1}^1 k^2 = 1^2 = 1 = \frac{1 \cdot (1+1) \cdot (2 \cdot 1 +1)}{6}\) - passt!
Die Induktionsvoraussetzung ist (eigentlich immer), dass die zu zeigende Aussage für irgendeine Zahl n gilt. Wir wollen daraus folgern, dass sie auch für n+1 gilt. (Man kann sogar voraussetzen, dass sie für alle Zahlen kleiner oder gleich einer Zahl n gilt. Hier ist das nicht notwendig, manchmal ist's praktisch.)
Wir nehmen also an: \(\Sigma_{k=1}^n k^2 = \frac{n \cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}\) gilt für eine Zahl n.
Zeigen wollen wir jetzt (Induktionsschritt), dass dann auch gilt \(\Sigma_{k=1}^{n+1} k^2 = \frac{(n+1) \cdot (n+1+1)\cdot (2(n+1)+1)}{6}\).
Dabei können wir zunächst die rechte Seite vereinfachen: \(\frac{(n+1) \cdot (n+1+1)\cdot (2(n+1)+1)}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} = \frac{(n^2+3n+2)(2n+3)}{6} = \frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6}\).
Die linke Seite schauen wir uns auch nochmal genauer an. Bei (*) benutze ich die Induktionsvoraussetzung.
\(\Sigma_{k=1}^{n+1} k^2 = (\Sigma_{k=1}^n k^2 ) +(n+1)^2=^* \frac{n \cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6} +(n+1)^2 = \frac{n \cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6} +(n^2+2n+1) = \frac{n \cdot (n+1)\cdot (2n+1)+6(n^2+2n+1)}{6}\)
Löst du da noch die Klammern auf (das überlass' ich mal dir), wirst du feststellen: Die linke Seite und die rechte Seite stimmen überein.
Somit ist gezeigt: Stimmt die Aussage für eine Zahl n, dann auch für die folgende Zahl n+1. Weil sie für n=1 stimmt, stimmt sie also für n=2 und daher für n=3 usw. - die Aussage ist also wahr für jede natürliche Zahl.
Ich hoff' das war so ausführlich genug, frag' gern nochmal nach wenn was unklar ist! :)
