Erstmal zu deiner Annahme:
Käme in einem Polynom, dessen Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist (nicht zum Ursprung, das gibt's nicht), eine ungerade Potenz vor, dann würde sich beim bilden von f(-x) das Vorzeichen an dieser Stelle ändern - dann wäre f(-x) nicht gleich f(x) und daher die Funktion doch nicht achsensymmetrisch. Es folgt also: Ein achsensymmetrisches Polynom besteht nur aus geraden x-Potenzen.
Analog: Käme in einem Polynom, das punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ein gerader Exponent vor, so würde sich das Vorzeichen an dieser Stelle beim Bilden von f(-x) nicht ändern, daher wäre f(-x) nicht gleich -f(x) und die Funktion doch nicht punktsymmetrisch. Es folgt: Ein punktsymmetrisches Polynom besteht nur aus ungeraden Exponenten.
Nun zur Aufgabe:
Das Polynom hat wegen der punktsymmetrie, wie du schon ankündigst, die Form
f(x)=ax^5+bx^3+cx.
Wir wissen: Der Punkt (1|1) liegt auf der Funktion, also gilt:
1=f(1) bzw.
(I) 1=a+b+c
Dieser Punkt ist außerdem ein Wendepunkt, also muss dort die zweite Ableitung null sein. Wir leiten also erstmal ab:
f'(x)=5ax^4+3bx^2+c
f''(x) = 20ax^3+6bx
Das liefert uns jetzt die Gleichung 0=f''(1), oder ausgeschrieben
(II) 0 = 20a+6b
Weiterhin ist bekannt, dass die Steigung dort -9 ist. Das liefert uns die Gleichung -9=f'(x) (Merke: Die Ableitung gibt die Steigung an!)
(III) -9 = 5a+3b+c
Es ist also ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen entstanden, welches wir nun lösen müssen.
Ich fasse erstmal zusammen:
(I) 1=a+b+c
(II) 0 = 20a+6b
(III) -9 = 5a+3b+c
Die erste Gleichung lässt sich beispielsweise nach c auflösen, wir erhalten
c = 1-a-b.
Das setze ich nun in (III) ein - eigentlich auch in (II), aber da kommt c ohnehin nicht vor.
-9 = 5a+3b+1-a-b |-1
(III)' -10 = 4a+2b
(II) 0 = 20a+6b
Nun löse ich eine davon nach einer Variablen auf - ich entscheide mich hier für (III)' nach b, es ist aber eigentlich egal.
2b = -10-4a
b = -5-2a.
Das setze ich nun in (II) ein und erhalten einen Wert für a:
0 = 20a+6(-5-2a)
0 = 20a -30 -12a |+30
30 = 8a
a = 30/8 = 15/4 = 3,75.
Das setze ich nun in b ein (rot markiert!):
b = -5-2*3,75 = -5-7,5 = -12,5
Und jetzt kommen a&b in unseren Term für c (auch rot!):
c = 1-3,75-(-12,5) = 9,75
Jetzt haben wir Werte für a, b, und c (grün) - diese kommen noch in den Funktionsterm und wir sind fertig:
f(x) = 3,75x^5-12,5x^3+9,75x
Diese Funktion hat die gewünschten Eigenschaften.
Ganz allgemein zu Aufgaben dieser Art: Die laufen immer gleich ab eigentlich, nämlich wie hier: Man schreibt zunächst die Funktion allgemein auf, also mit Variablen vor den x-Potenzen, versucht, die Angaben zur Funktion in Gleichungen zu übersetzen, und löst das entstehende Gleichungssystem.
