Probolobo

Falls ihr natürlich schon "modulo-Rechnung", also Rechnen mit Äquivalenzklassen der Relation "teilbar durch n",  kennt, wirds deutlich leichter:

Dann ist zu zeigen 8n³-2n = 0 mod 3.

Es reicht, das für n=0, n=1 und n=2 zu untersuchen, weil das die einzigen Äquivalenzklassen mod3 sind.

Mit 0 steht da 0=0, das wäre sogar ohne "mod 3" wahr.

Mit n=1 sieht's so aus:

8*1³-2*1 = 8-2 = 6 = 0 mod 3 - passt!

Und mit n=2 passiert folgendes:

8n³-2n = 8*2³-2*2 = 8*8-2*2 = 64-4 = 60 = 0 mod 3 - passt auch!

Mir ist leider nicht bekannt, welche Rechenregeln ihr kennt - beweisen können wir's aber trotzdem:

Ich unterscheide dafür drei Fälle:
Fall 1: n ist ein Vielfaches von 3, also n=3k für eine natürliche Zahl k.

Fall 2: n=3k+1 für eine natürliche Zahl k

Fall 3: n=3k+2 für eine natürliche Zahl k

In Fall1 ists leicht: Wenn n ein Vielfaches von 3 ist, gilt

3 | n -> 3 | 2n

und 3 | n³ -> 3 | 8n³.

Zusammen folgt schon 3 | 8n³-2n.

Fall2: 

8n³-2n = 8 (3k+1)³ -2(3k+1) = 

= 8*(27k³+27k³+9k+1) -6k -2 = 

= 216k³ +216k² +72k +8 -6k -2 = 

= 216k³ +216k² +66k +6

Hier sehen wir: 216 und 66 sind Vielfache von 3, daher sind die ersten drei Summanden alle durch 3 teilbar. Weil 6 auch durch 3 teilbar ist, ist die ganze Summe durch 3 teilbar, also folgt 3 | 8n³-2n.

Fall3 sieht ganz ähnlich aus:

8n³-2n = 8*(3k+2)³-2(3k+2) = 

8*(27k³+54k³+36k+8) -6k-4 = 

216k³+432k²+288k+64 -6k -4 = 

216k³+432k²+282k+60

Weil 216, 432 und 282 Vielfache von 3 sind, sind die ersten drei Summanden durch 3 teilbar. Auch 60 ist durch 3 teilbar, daher die ganze Summe und es folgt wieder 3 | 8n³-2n.

Wir haben die Aussage nun für alle drei Fälle bewiesen. Weil jede natürliche Zahl sich entweder als n=3k, n=3k+1 oder n=3k+2 darstellen lässt, sind wir fertig.

Ne, die Klammer fehlt :D 

Er zieht ja den Summanden mit k=n+1 aus der großen Summe - dann ist k=n+1 und k+1=n+2.

Das "mithilfe der Teilbarkeitsrelation" irritiert mich ein wenig. 

a | b -> a | b²

a | c -> a | c²

Und damit folgt eigentlich direkt die Aussage.

Wenn man's etwas ausführlicher will: 

a | b <=> Es gibt eine Zahl k mit b=k*a.

Das führt zu folgendem:

a | b => b=k*a => b² = k² * a² => Es gibt eine Zahl k' (nämlich k²*a) mit b²=k' * a => a | b²

a | c => c=k*a => c² = k² * a² => Es gibt eine Zahl K (nämlich k²*a) mit c²=K * a => a | c²

=> b²-c² = k' * a - K * a = (k'-K) * a => Es gibt eine Zahl Z (nämlich k'-K) mit b²-c² = Z * a => a | b²-c².

Ich hoff es ist nicht zu unübersichtlich mit den ganzen verschiedenen K-Varianten :D Sind nur leider notwendig, weil ich die ja in der letzten Zeile brauche und daher unterscheiden muss. Das einfache k ist eigentlich auch in jeder Zeile unterschiedlich, aber da ist's egal. Man kann natürlich auch andere Buchstaben anstelle verschiedener K-Varianten nehmen wenn man möchte.

Den übersieht man aber auch leicht:

Übrigens: Man wirkt nie "wie der letzte Depp", wenn man Fragen stellt :D Fragen stellen ist richtig und wichtig! Ist dann auch wichtig, die Lösung wirklich nachzuvollziehen und sich davor auch ernsthaft mit dem Problem auseinandergesetzt zu haben - wer uns hier als Hausaufgaben-Musterlösung nutzt hat dann in der Klausur ein großes Problem ;)

Obs "ganz einfach ist" liegt im Auge des Betrachters würd ich sagen - ich zeig' erstmal wie's geht, obs einfach ist darfst du dann selbst entscheiden ;)

Den Algorithmus schreib' ich hier nicht ab, sondern leihe ihn mir bei Wikipedia aus:

Besonders angenehm: dein a&b sind auch bei Wiki a&b.

Was wir sehen, ist die zweite Zeile - es ist b=r₀ und 316=r₁. Außerdem ist b=391 (einfach die Zahlen zusammengerechnet).

Daraus wissen wir: Zeile 1 sieht so aus:

a=q*391 + 316.

Das q ist noch unbekannt - wir wissen aber, dass a zwischen 1000 und 1500 liegt. q=0 und q=1 fallen damit raus. 

Mit q=2 ergibt sich a=1098 - eine mögliche Lösung.

Mit q=3 ergibt sich a=1489 - auch das würde passen.

Erhöhen wir q weiter, wird a größer als 1500. Das wäre illegal, daher sind a=1098 und a=1489 unsere beiden Lösungen.

Klar - wir machen's genau wie bei der letzten Punkteaufgabe!

Erstmal durchnummerieren - das erste sei a₀. Man erkennt: Es sind immer drei Dreiecke nebeneinander, die jeweils in der Seitenlänge um 1 wachsen. Dabei ist das erste stets 1 größer als das zweite und das zweite 1 größer als das dritte. Ich hab die Aufteilung und Nummerierung auch gleich im Bild, dann sieht man genau was gemeint ist:

Wir betrachten nun wieder den Zuwachs in jeder "Entwicklungsstufe", um die rekursive Formel zu konstruieren. Ich hab's beim größten Dreieck mal in grün markiert - das Dreieck wächst immer um eine Seite, die jeweils n+2 lang ist. Da das mittlere Dreieck eine Stufe "hinterherhinkt" und das rechte gleich zwei, ist der Zuwachs beim mittleren dann n+1 groß und beim rechten nur n. 

Der Gesamt-Zuwachs ist die Summe der drei einzelnen, also n+2+n+1+n=3n+3. Daraus ergibt sich folgende rekursive Formel:

a₀ = 4, a_n=a_n-1 +3n+3.

(Ich muss da übrigens auch jedes Mal überlegen, ob jetzt a_n und a_n-1 in die Rekursionsformel müssen oder a_n+1 und a_n - man findets leicht durch ausprobieren mit n=1 und n=2 heraus.)

Wie letztes mal werden für die explizite Formel für a_n alle Zuwächse aufsummiert:

\(a_n = 4 + \sum_{k=1}^n (3k+3) = \\ 4+ \sum_{k=1}^n 3k + \sum_{k=1}^n 3 = \\ 4 + 3 \cdot \sum_{k=1}^n k +3n =^* \\ 4 + 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} +3n = \\ 4 + 1,5n^2+1,5n+3n = \\ 1,5n^2+4,5n+4\)

Also können wir direkt sagen:

a_n = 1,5n²+4,5n+4

(Funktioniert dann auch für n=0 übrigens - das tut die rekursive Formel nicht, der mussten wir ein Anfangsglied vorgeben. Das ist aber auch klar - sie versucht ja immer auf ein vorheriges zuzugreifen, ohne ein Startglied würde sie quasi "ins Leere greifen".)

Für die Weite brauchst du die Nullstellen der Parabel. Die Flugweite ist die Distanz zwischen den Nullstellen.

Der höchste Punkt der Flugbahn der Kugel ist der Scheitel der Parabel. Diesen kann man ablesen als S(15|8,67). Die Kugel fliegt also bis zu einer Höhe von 8,67 nach oben.

Schau dazu hier:

https://web2.0rechner.de/fragen/frage_104

Ändert ja quasi nix an der Antwort - die Ungleichung stimmt genau dann, wenn a nicht 0 ist.