Also, für die 6 sollst du ja die Funktion A(r) betrachten. Diese soll dir den Flächeninhalt eines Kreises in Abhänigkeit des Radius r angeben. D.h. \(A(r) = r^2 \pi\)
Offenbar habt ihr die Ableitung gerade kennengelernt. Die Ableitung einer Funktion gibt ja in jedem Punkt die Steigung, also die Änderungsrate der Funktion an. In a) suchen wir also die Ableitung unserer Funktion A(r).
Es gilt: \(A'(r) = (r^2 \pi )'=2 \cdot r^{2-1}\pi = 2 \cdot r \cdot \pi\)
Die Änderungsrate ist also eine Gerade mit Steigung 2pi. Das heisst, je größer der Radius, desto Größer die Änderungsrate. Insbesondere fällt für die geometrische Deutung auf, dass die Änderungsrate dann genau dem Umfang des Kreises mit Radius r entspricht.
Außerdem kann man dazu vielleicht noch sagen, dass eine Änderung des Radius (zB um 1 vergrößern) bei kleinem Radius einen kleineren Unterschied für die Fläche ergibt als bei großem Radius. \((*)\)
Für die b) würde ich dir eine Wertetabelle empfehlen, dann kannst du die Graphen leicht selbst zeichnen. A(r) ergibt eine Parabel (r² ! ), A'(r) wie bereits erwähnt eine Gerade.
Für die 7 sieht das ganze sehr ähnlich aus: Es ist \(V(r) = {4 \over 3}\pi \cdot r^3\)
Damit folgt für die Änderungsrate \(V'(r)=4\pi \cdot r^2\)
Ähnlich zu Aufgabe 6 sehen wir, dass die Änderungsrate des Kugelvolumens genau der Oberflächeninhalt ist.
Außerdem klappt hier auch die Beobachtung \((*)\)
Ich hoffe, das war nachvollziehbar. Wenn nicht, frag nochmal ;)
