CPhill

f(12)   =  6

f (f(12) )  = f(6)  = 3

f (f ( f (12) ) ) )   =  f (3)  =  10

f(f(f(f(12))))  =   f (10)   =     5

Note that if  AD  is parallel to  BE, then corresponding  angles  ADC  and BEC  are equal

Thus, in triangles CAD  and CBE, angle ADC  =  angle BEC

But  angle ACD >  angle BCE

So

Then  

ADC + ACD  >   BEC + BCE

And  because all three  angles in each triangle will sum to 180

Then angle CAD  must be less than angle CBE

Note  that  we  can  write

       1                            1

__________   =      _______________ 

n ( n^2 - 1)               n ( n + 1) (n - 1)

Using  partial fractions

    1                                  A           B              C

___________    =         ___   +  _____  +   _____    multiply through by n(n + 1)(n -1)

n(n + 1) (n-1)                  n          n + 1         n - 1

1  =  A( n + 1) ( n - 1)    +  Bn(n - 1)   +  Cn ( n + 1)

1  = A( n^2 - 1)    +  B( n^2 - n)    +   C(n^2 + n)

1 =   (A + B + C)n^2  + (B - C)n  - A

Equating coefficients

A = -1

B - C  =   0    

A + B + C  =   0

Add  the second and third equations

A  + 2B  = 0

B = 1/2

C = 1/2

So  we  have

( -1/n  +  1/[2(n + 1)]  + 1'/[ 2 ( n - 1) ]  =

Sum  n   = 2   to  n = 100

(-1/2  +  1/ 6  + 1/2)   +

(-1/3  +  1/8   + 1/4)   +

(-1/4  +  1/10  + 1/6)  +

(-1/5  +  1/12  + 1/8) +

(-1/6  +  1/14  + 1/10) +

(-1/7  +  1/16  + 1/12) 

(-1/8  +  1/18   + 1/14) +  ........+

(-1/97  + 1/196  + 1/192)  +

(-1/98  + 1/198  + 1/194)  +

(-1/99 +  1/200 +  1/196)  +

( -1/100 + 1/202  + 1/198)   =

All the terms in red will  " cancel"  and we are left with

(1/4 + 1/200 + 1/202 - 1/100)

(50/ 200  + 1/200 + 1/202  - 2/200)  =

(49/200 + 1/202)  =

[ 49 (202 )  + 200 ]            10098            5049

_______________  =     _________ = _______

   200 *  202                      40400           20200

x^2 + 4^2  =  (x + 2)^2

x^2  + 16 =  x^2  + 4x  +  4                     subtract x^2 from both sides

16  =  4x  +   4                                      divide through by 4

4  =   x   +  1                                         subtract 1 from both sides

3   =  x

7.5  is  the smallest

1.2 (repeating)  is  the largest

-5 < 1

0  < 1

0.9 < 1

-1.3 < 1

h  ≥ 1.4m

age  <  18

age  ≥  21

Second one

a)  53.75  

The "7"  =  7/10

b)   2,500,000

c)  5/1000

First  one

a) 7.5  is the smallest

b)  1.2  (repeating)  is  the largest

(x - 2) /  ( x + 2)  >  1      

Note that  this  is undefined when  x  =  - 2

When  x  <  -  2    it is true for all   x

When  x >  2    it will always  be  negative

So.......the solution  is

x <  -  2