CPhill

1.Find the area of the convex quadrilateral with vertices (1, 5), (2, 3), (7, 6) and (7, 1).

See the image here

We can  use  something known as Pick's Theorem  to solve this

Note...a lattice  point  =  a  point with integer coordinates

Area =  number of boundary lattice points /2  +  number of interior lattice points  - 1   =

   (4/2)    +   16  -  1   =

2   +   16   -    1     =

  17

The  sum  of  the roots  =   3

So

a + b  =  3      square both sides

a^2 + 2ab + b^2   =  9        (1)

The product of the roots  =  1

So  ab  = 1        (2)

Sub (2)  into (1)

a^2  + 2(1)  + b^2  =  9

a^2  + 2  +  b^2  =  9

a^2 + b^2   =  7

x +  y =  k

y  =  -x +  k

x^2  + ( -x + k)^2  =  k

x^2  + x^2 - 2xk  + k^2   =  k   

2x^2 - 2kx  + k^2 - k  =  0 

If  this has a   unique solution for k   then

(-2k)^2  - 4 (2) ( k^2 - k )  =  0

4k^2  -  8 k^2  + 8k   =   0

8k - 4k^2  =   0

4k ( 2 - k)  =  0

k  =  0   (trivial)

k  = 2

When  k  =  2

x + y  =  2      ⇒   y  =  2 - x

x^2 + y^2  = 2

x^2 + (2 -x)^2  =  2

x^2 + x^2 - 4x + 4  =  2

2x^2  - 4x + 2  =  0

x^2 - 2x + 1  =  0

(x - 1)^2  =  0

x =  1

And

x + y  =  2

1 + y  =  2

y = 1

So....the solution point is  (1,1)    when k  =  2

See the following image  :

Let    B  =(-sqrt (3) , 0)   A  = (0, 1)   C = ( sqrt (3), 0  )

The  centroid occurs at the intersection of the medians = G

Let BE  be  the median drawn to  AC

cot (EBC)  =    (sqrt (3)  + sqrt (3)/2 )   / (1/2)     =  [ 3sqrt (3) / 2]  / (1/2)  = 3sqrt(3) =  BD/DG

OK....this doesn't show up well for me

So....revised answer

a)  (1/2) (12) ( 1.8 +1) * 4  =   6 (2.8) * 4  =  67.2 m^3  =  67,200 L

b )  67200/7.5  =  8960 min

c)  2.75 * 67.2  =  184.8  pounds

(1)     ( 4√3, - 4)   =   ( √48, - 4  )

r  =   √  [  (√48)^2  +(-4) ]  =   √[48 + 16]   =  √64  =   8

 θ =  arctan  ( -4/ 4√3 )    =  arctan  ( -1/ √3)  =   - pi/6  =  11pi/6

So

(r,  θ)   =  ( 4, 11pi/6)

1.3  =  depth of the pool   at  the deep end  (in meters)

a  =  -  5i  +  3j

8a  =  8 ( - 5i + 3j)   =

-40i  + 24j

a)

Volume  of  pool    =    [ area  of a trapezoid  with bases of  1m, 1.3m   and height  of 12]  *   4

So we  have

(1/2) (12)  ( 1 + 1.3)    *  4   =

6 ( 2.3)  *  4   =

24 * 2.3  =

55.2  m^3     =   55.2 * (1000 L)  =  55,200 L

b ) Time it takes to fill the pool   =    55,200  / 7.5   =  7360 min

2)  Cost

2.75   (55.2)  = 152.625  pounds

Welcome!!!

There  is  another way to solve this

The product of the roots =   k/2

       13   - √131                                                13    +  √131

If    _________    is     a root  then  so  is      ____________

           4                                                                 4

So   ( 13 - √131) / 4    *  ( 13 + √131)  / 4   =       (169  - 131) / 4  =  38  / 16

So

38/16  =   k/ 2           mutiply through by  2

2 * 38 / 16 =   k

76/16  =  k    

19/4   =  k