Probolobo

Bei "Mein Profil" kannst du eine Bilddatei als Profilbild wählen. Das sieht bei mir ungefähr so aus:

1165.28

Solche Rechnungen kannst du durchaus einfach in den Rechner eingeben.

Die Einwohnerdichte (auch Bevölkerungsdichte) beschreibt die Anzahl an Leuten, die auf einer bestimmten Fläche leben.

Um die Einwohnerdichte zu berechnen teilt man die Einwohnerzahl des Gebiets durch seine Fläche.

München hat beispielsweise eine Fläche von 310,4km² = 310.400.000m² und 1.472.000 Einwohner.

Das ergibt eine Bevölkerungsdichte von \(\frac{1472000}{310,4km^2} \approx 4742 \frac{Einwohner}{km^2} = 0,000474 \frac{Einwohner}{m^2}\)

3g - 5g = (3-5)g = -2g

Es geht hier ja, wie du schon sagst, um exponentielles Wachstum. Eine Funktion, die exponentielles Wachstum (oder auch exp. Abnahme) beschreibt, hat die Form \(f(x) = b \cdot a^x\)

Dabei ist b der Startwert & a der Wachstumsfaktor (a>1 -> Wachstum, a<1 -> Abnahme).

Hier ist der Wachstumsfaktor gegeben: Wenn pro Jahr 3% mehr Wald vorhanden ist, liefert das den Wachstumsfaktor a=1,03. (=103%).

Also sieht unsere Funktion schonmal ungefähr so aus: \(B(x) = b \cdot 1,03^x\)

x ist dabei die Zeit in Jahren, die Funktion habe ich B wie "Bestand" genannt, welchen Buchstaben du nutzt ist egal.

Wir wissen, dass nach 12 Jahren noch 60000 Festmeter vorhanden sind. Das liefert uns einen Punkt auf der Funktion, nämlich (12|60000).

Um b zu bestimmen setze ich den Punkt in die Funktion ein:

\(B(12) = 60000 \\ b \cdot 1,03^{12} = 60000 \\ b = \frac{60000}{1,03^{12}} = 42082,8\)

Damit ist die Funktion gegeben durch B(x) = 42082,8 * 1,03^x.

Dabei ist 42082,8 genau der Startwert (also der Wert zur Zeit x=0). In den 12 Jahren hat der Waldbestand also von 42082,8 auf 60000 Festmeter zugenommen. Daher müssen jetzt 60000-42082,8 = 17917,2 Festmeter geschlagen werden.

Ich hoffe das ist klar so :)

30.000mm = 3.000cm = 300dm

Den y-Wert des Punktes bestimmen ist zumindest schonmal der erste Schritt.

Die Tangente im Punkt P ist die Gerade, die die Funktion f im Punkt P "berührt" - sie geht also durch den Punkt P und hat die gleiche Steigung wie f im Punkt P. Die Gleichung einer Geraden sieht immer etwa so aus: y=mx + t  -> Wir suchen also die Steigung m und den y-Achsen-Abschnitt t der Geraden.

Dabei nutzen wir für m, dass die Steigung der Tangente und die Steigung von f in P gleich sind.

Um die Steigung von f im Punkt P zu bestimmen brauche ich zunächst die Ableitung (Quotientenregel!):

\(f'(x) = \frac{(3x+1) \cdot (-1) - (3-x) \cdot 3}{(3x+1)^2} = \frac{-3x - 1 -9 +3x}{(3x+1)^2}= \frac{-10}{(3x+1)^2}\)

Nun setze ich den x-Wert von P ein, um die Steigung von f an der Stelle 2 (also in P) und damit auch die Tangentensteigung zu bestimmen:
 

\(f'(-2) = \frac{-10}{(3 \cdot (-2)+1)^2} = \frac{-10}{(-5)^2} = \frac{-10}{25} = -0,4 \\ \rightarrow m=-0,4\)

Die gesuchte Gerade hat also schonmal eine Gleichung der Form y=-0,4x+t.

Um t zu bestimmen setze ich nun noch den Punkt P in die Gerade ein (der muss ja auf der Tangente liegen):

-1 = -0,4 * (-2) +t

-1 = 0,8 + t

-1,8 = t

Die gesuchte Gerade hat also die Gleichung 

y = -0,4x -1,8

Klar, aber die Erklärung hast du mit der Kettenregel eigentlich schon geliefert: 

Die äußere Funktion ist f(x)=x², die innere Funktion ist g(x)=ln(x) (und damit f'(x) = 2x, g'(x) = 1/x)

Dann ist f(g(x)) = (ln(x))²

Die Kettenregel liefert den Rest:

Ableitung = f'(g(x)) * g'(x) = 2(ln(x)) * 1/x

Ich leite also das Quadrieren ab wie immer, danach wird noch mit der Ableitung der inneren Funktion nachdifferenziert.

Anderes Beispiel: f(x) = 2(sin(x))³

-> f'(x) = 2*3*(sin(x))² * cos(x) = 6sin²(x)cos(x)

FunFact: " \cdot " im LaTeX-Modus liefert den "hübschen" Malpunkt (rechts): 

\(3 * 2 = 3 \cdot 2\)

Schreib einfach den Aufgabentext ab. 

Ist immer schwierig, so allgemeine Fragen so zu beantworten, dass die Antwort dann auch hilft - wenn möglich immer das konkrete Problem ;)

Falls in der Angabe ein Bild vorkommt - beschreib's ungefähr, du kannst die Aufgabe auch abfotografieren und das Foto hochladen wenn du möchtest.

Das Volumen eines Objektes ist die Größe des von dem Objekt eingeschlossenen Raumes.

Beispielsweise gibt das Volumen eines Milchkartons an, wie viel Milch hineinpasst.

Gemessen wird das Volumen in m³ ("Kubikmeter"), oft auch in dm³ ("Kubikdezimeter"), was das gleiche ist wie l ("Liter").

In der Schule werden Volumen von verschiedenen Körpern berechnet (Würfel, Quader, später auch Kegel, Zylinder, Pyramide etc.). Wenn du die Frage, zu der du hilfe brauchst, posten würdest, kann ich dir gern genauer erklären, was da los ist.