Probolobo

Bei solchen Aufgaben ist es ratsam, ein Gleichungssystem aufzustellen und das dann zu lösen.

Ich nenne hier daher das Alter von Lisa "x", das Alter von Luca "y" und das Alter von Mohamed "z"

Dann folgt

x+y+z = 36   ("Zusammen 36")

x = 0,5y        ("Lisa ist halb so alt wie Luca")

z = 1,5y        ("Mohamed ist anderthalb mal so alt wie Luca")

Ich setze nun die unteren beiden in die erste Gleichung ein. Das sieht dann so aus:

0,5y + y + 1,5y = 36 

3y = 36     | :3

z = 12

Mit den unteren beiden Gleichungen folgt dann

x = 0,5 * 12 = 6

y = 1,5 * 12 = 18

Also ist Lisa 6 Jahre alt, Luca ist 12 Jahre alt und Mohamed ist 18 Jahre alt.

Zunächst der Induktionsanfang: n=1:

Dann sieht die untere Gleichung so aus:

\(x_1 = (x_0 -20) \cdot 0,8 +20 = 0,8x_0 -16 + 20 = 0,8x_0 +4\)

Das entspricht der Rekursionsvorschrift von oben, also stimmt die Aussage schonmal für n=1.

Für den Induktionsschritt nehmen wir nun an, dass die Aussage für die ersten n natürlichen Zahlen gilt. Es ist also

\(x_n = (x_0 -20) \cdot 0,8^n +20.\)

Wir folgern nun, dass die Aussage auch für n+1 gilt. Dafür nutzen wir im ersten Schritt die Rekursionsvorschrift und wenden dann die Induktionsvoraussetzung an:

\(x_{n+1} = 0,8x_n +4 = \\ = 0,8 \cdot ((x_0-20) \cdot 0,8^n +20) +4 = \\ = 0,8 \cdot (x_0-20) \cdot 0,8^n + 0,8 \cdot 16 +4= \\ = (x_0-20) \cdot 0,8^{n+1} +20\)

Damit folgt die Aussage. Der Wert von x₀ aus dem vorherigen Aufgabenteil ist für die Aussage nicht relevant, sie gilt also für alle werte von x₀.

Das sollte funktionieren, indem du für beide Werte einen Funktionsterm aufstellst, der ihre Entwicklung im Lauf der Zeit darstellt und die beiden Funktionen dann gleichsetzt.

Wenn du die konkrete Aufgabe posten würdest, könnte man dir vermutlich auch konkreter helfen.

Etwas spät, aber hier kommt noch deine Antwort:

Zunächst der Induktionsanfang: Für n=1 wird deine Ungleichung zu \((a+b) \geq a + b\), was offenbar stimmt.

Sei die Aussage nun wahr für die ersten n natürlichen Zahlen, es gilt also (*): \((a+b)^n \geq a^n +b^n .\)

Dann folgt 

\((a+b)^{n+1} = (a+b) \cdot (a+b)^{n} \geq (a+b) \cdot (a^n + b^n) = a^{n+1} + a \cdot b^n + b \cdot a^n + b^{n+1} \geq a^{n+1} + b^{n+1}\)

Dabei habe ich für die erste Ungleichheit die Induktionsvoraussetzung (*) benutzt, in der zweiten Ungleichheit geht ein, dass a&b größergleich 0 sind.

Das beweist die Aussage.

Übrigens: Induktion ist hier gar nicht notwendig, man könnte die Aussage auch durch auflösen der Klammer zeigen:

\((a+b)^{n} = \sum_{k=0}^n {n\choose k} \cdot a^k \cdot b^{n-k} =a^n + b^n +\sum_{k=1}^{n-1} {n\choose k} \cdot a^k \cdot b^{n-k} \geq a^n + b^n\)

Wobei die Ungleichheit wieder folgt, weil a&b größergleich 0 sind.

Dieses Experiment erfüllt die Definition eines Bernoulli-Experiments, weshalb mit den Formeln zur Binomialverteilung gerechnet werden kann.

Fabian gewinnt, wenn er in den ersten 10 Spielen mindestens 6 gewinnt. Steht es 5-5, so gewinnt Fabian auch, wenn er dann die beiden folgenden Sätze gewinnt.

Daraus ergibt sich folgender Term für die Wahrscheinlichkeit:

\(P("Fabian \ gewinnt") = P^{10}_{0,65}(X\geq 6) + P^{10}_{0,65}(X=5) \cdot 0,65^2\)

Dabei ist der erste Summand die Wahrscheinlichkeit für 6 Siege in den ersten 10 Spielen, der zweite Summand ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es nach 10 Spielen unentschieden steht und Fabian die beiden Spiele danach gewinnt. (Grobe Merkregel: "und" entspricht in der Formel "Mal", "oder" entspricht dem "Plus".)

Die Wahrscheinlichkeit kann nun mit Hilfe des Tafelwerks berechnet werden:

\(P("Fabian \ gewinnt") = P^{10}_{0,65}(X\geq 6) + P^{10}_{0,65}(X=5) \cdot 0,65^2 \\ = 1-P^{10}_{0,65}(X\leq 5) + P^{10}_{0,65}(X=5) \cdot 0,65^2 \ \ |Tafelwerk \\ = 1-0,249 + 0,154 \cdot 0,65^2 \ \ |Taschenrechner \\ = 0,816 = 81\%\)

Ich hoffe, das ist so verständlich. Falls was unklar ist meld' dich ruhig nochmal.

Wieder Satz -> Gleichung:

Differenz bedeutet, wir ziehen irgendwas von irgendwas ab. Der Subtrahend ist die Zahl nach dem Minus, der Minuend ist die Zahl davor. Hier ist der Subtrahend das Produkt aus 5&9, der Minuend ist der Quotiend aus 2200 & 11:

\(\frac{2200}{11} - 5 \cdot 9 = \frac{11 \cdot 200}{11} - 45 = 200 - 45 = 155\)

Auch hier: Falls das Hausaufgaben sind, versuche bitte nachzuvollziehen, was in jedem Schritt passiert und wo der Ansatz herkommt. Textaufgaben sind auch in den folgenden Jahrgangsstufen wichtig. Wenn etwas unklar ist: Frag' gern nochmal nach.

Auch hier packe ich den Satz in einen Term: 

Zunächst bilde ich das doppelte der Differenz (daher 2* und das Minus), davon ziehe ich das Produkt ab. Erwähnenswert: Auch um (-20)*7 könnte man noch eine Klammer machen, um zu verdeutlichen, dass zuerst das Produkt berechnet wird und dann abgezogen wird. Wegen "Punkt vor Strich" ist das aber nicht notwendig.

\(2 \cdot (-20 -7) - (-20) \cdot 7 = 2 \cdot (-27) - (-140) = -54 + 140 = 86\)

Ich vermute, dass das "und" hier ein "um" sein müsste. 

Dann macht der Satz sinn und das Vorgehen hier ist grob das gleiche wie bei allen Textaufgaben: Erstmal versuche ich, den Satz als Term aufzuschreiben. Anschließend wird vereinfacht und ausgerechnet.

Hier sieht das so aus:

\(\frac{96}{-16} - (96- (-16))\)

Ich nehme also zunächst den Quotienten (-> Bruch!) und verkleinere ihn (-> Minus) um die Differenz (nochmal -) von den beiden Zahlen. Das kann nun noch berechnet werden:

\(\frac{96}{-16} - (96- (-16)) = \frac{6 \cdot 16}{-16} - (96+16)) = -6 - 112 = -118\)

Ich versuche hier, die Sätze als Term aufzuschreiben. Das sieht dann so aus:

a) \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}l = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4} l = \frac{2}{4}l = \frac{1}{2}l\)

Es ist also noch ein halber Liter in der Flasche.

b) \(\frac{4}{5}\cdot \frac{7}{8}l = \frac{4 \cdot 7}{5 \cdot 8}l = \frac{28}{40}l =\frac{7}{10}l\)

In diesem Gefäß sind noch 0,7 Liter.

Davon ausgehend, dass das deine Hausaufgaben sind: Versuche bitte, dir klar zu machen, wo hier der Ansatz herkommt und was in jedem Schritt passiert ist. Mit Brüchen umgehen können ist wichtig und wird auch in den nächsten Jahrgangsstufen noch relevant sein.

Wenn noch etwas unklar ist: Frag' gerne weiter nach!

(Edit: Hatte mich bei b) vertippt.)

Ich nenne hier zunächst die gesuchte Zahl x. (Ist immer sinnvoll, erstmal die gesuchte Zahl zu benennen, damit man auch eine Gleichung aufstellen kann!)

Dann ist dein Satz folgende Gleichung:

x + (-15) = -38

x-15 = -38   |+15

x = -38 +15 = -23

Die gesuchte Zahl ist also -23.