Probolobo

Der Fachbegriff für den Zwischenschritt, der hier nötig ist, ist "Teilweise Radizieren". Dabei wird der Zahl unter der Wurzel "der quadratische Anteil entzogen", man zerlegt die Zahl in ein Produkt aus einem Quadrat (also einer Zahl, deren Wurzel bekannt ist) und einem Rest und zieht dann die Wurzel aus dem Quadrat-Anteil.

Das sieht in deinem Beispiel so aus:

\(\sqrt5 + \sqrt{20} = \ \ \ \ |zerlegen\\ \sqrt5 + \sqrt{4 \cdot 5 } = \ \ \ \ |Wurzel-Rechenregel\\ \sqrt5 + \sqrt4 \cdot \sqrt5 = \ \ \ \ | ausklammern \\ \sqrt5 \cdot (1 + \sqrt4) = \ \ \ \ |\sqrt4 = 2 \\ \sqrt5 \cdot 3 = 3\sqrt5\)

Tipp: Um herauszufinden, wie die Zahl zerlegt werden kann, ist es ratsam, die Primfaktorzerlegung zu bestimmen.

Hier ein Beispiel: 

\(\sqrt{1350} = \sqrt{2 \cdot 3^3 \cdot 5^2} = \sqrt{(3^2 \cdot 5^2) \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{3^2 \cdot 5^2} \cdot \sqrt{ 2 \cdot 3} = 3 \cdot 5 \cdot \sqrt{ 2 \cdot 3} = 15 \sqrt6\)

Da hier ein Produkt von Funktionen vorliegt, muss für die Ableitung auch die Produktregel verwendet werden. Für die Ableitung des zweiten Faktors, also von ln(x)^2, wird die Kettenregel benötigt.

Damit folgt dann für die Ableitung:

\(f'(x) = 3x^2 \cdot (ln(x))^2 + x^3 \cdot 2 \cdot ln(x) \cdot \frac{1}{x} = \\ = 3x^2 \cdot (ln(x))^2 + 2x^2 \cdot ln(x) = \\ = x^2 \cdot ln(x) \cdot ( 3ln(x) + 2)\)

In Zeile 1: Beim ersten Summanden habe ich x³ abgeleitet und ln(x)^2 stehen lassen, beim zweiten Summanden habe ich x³ stehen lassen und ln(x)^2 mit Hilfe der Kettenregel abgeleitet.

Zunächst setze ich den x-Wert in die Funktion ein, um den y-Wert des Punkts P zu bekommen:

\(F(6) = \frac{6^2 - 3}{6+4} = 3,3\)

Also ist der Punkt P(6/3,3). Nun bilde ich die Ableitung (Quotientenregel!), um damit die Tangentensteigung berechnen zu können:

\(F'(x) = \frac{(x+4) \cdot 2x - (x^2-3) \cdot 4}{(x+4)^2} = \frac{2x^2+8x-(4x^2-12)}{(x+4)^2} = \frac{-2x^2+8x+12}{(x+4)^2} \\ \rightarrow Steigung: \ \ m=F'(6) = \frac{-2 \cdot 6^2+8 \cdot 6 +12}{(6+4)^2}= \frac{-12}{100} = -0,12\)

Die Tangente hat also die Form y=-0,12x+t

Um t zu bestimmen setze ich die Koordinaten des Punktes P für x&y ein:

3,3 = -0,12 * 6 +t

3,3 = -0,72 + t   | +0,72

4,02 = t

Damit ist die Tangentengleichung

y = -0,12x + 4,02

Wie vorhin wird erstmal die gesuchte Zahl benannt: x soll die gesuchte Zahl sein.

Dann wird der Satz wieder in eine Gleichung gepackt:

4x + 12 = 8x

Diese können wir nun nach x auflösen:

4x + 12 = 8x    | -4x

12 = 4x   | :4

3 = x

Die gesuchte Zahl ist also 3.

Edit: Habe das "vermindert um 8" überlesen - sorry!. Wir lernen: Aufgabe ordentlich lesen ist immer ein guter Anfang.

Die Gleichung sieht dann so aus, wie der Kollege mathismyhobby das gelöst hat:

4x + 12 = 8x - 8    | -4x

12 = 4x - 8    | +8

20 = 4x   | :4

5 = x

Freut mich - immer gern!

Zunächst ist bei Textaufgaben immer gut, wenn man benennt, was man sucht. In der ersten Aufgabe müssen wir das noch selbst machen - ich nenne die gesuchte Zahl mal y (weil x schon in der zweiten Aufgabe benutzt wird - eigentlich ist auch egal, wie du die nennen willst.)

Dann versuche ich, den Satz in einen Term umzuformen. Das sieht bei der ersten Aufgabe so aus:

\(y + \frac{1}{2} y = 96 \ \ |zusammenfassen \\ \frac{3}{2} y = 96 \ \ | \cdot2 \\ 3y = 192 \ \ | :3 \\ y = 64\)

Die gesuchte Zahl ist also 64.

Bei der zweiten Aufgabe ist der Term etwas aufwändiger:

\(x \cdot 9 +192 = 300 \ \ |-192 \\ 9x = 108 \ \ | :9 \\ x = 12\)

Die gesuchte Zahl x ist also 12.

Sehr gern!

Kein Problem, dann hier nochmal die Antwort mit den vollständigen Angaben:

Jetzt haben wir drei unbekannte. Ich nenne das Kapital von Chef1 x, das von Chef2 y und das von Chef3 z.

Die Angaben liefern folgende Gleichungen:

x+y+z = 56000

x = 2y

z = y+8000

Ich setze die unteren beiden in die erste ein:

2y + y + y + 8000 = 56000

4y + 8000 = 56000   | -8000

4y = 48000    <:4

y = 12000

Mit den ersten beiden Gleichungen folgt

x = 2*12000 = 24000

z = 12000 + 8000 = 20000

Also hat Chef1 24000€ eingesetzt, Chef2 hat 12000€ eingesetzt und Chef3 hat 20000€ eingesetzt.

Bemerkenswert: Der erste Satz - also die Angabe, dass die Chefs sich den Gewinn entsprechend aufteilen - ist für die Lösung der Aufgabe komplett egal.

Ich geb' mir Mühe ;)

Um herauszufinden, wie viel Saft noch im Behälter ist, nehmen wir uns die Menge an Saft, die am Anfang da war (5l), und ziehen alles ab, was in Gläser abgefüllt wurde. Das sind sieben Gläser mit 1/4 l und 3 Gläser mit 1/8 l.

In einem einzigen Zahlterm sieht das so aus:

\(5l - (7 \cdot \frac{1}{4} l + 3 \cdot \frac{1}{8}l)\)

Die Klammer hier ist wichtig, weil wir alle Gläser zusammen abziehen wollen. Ohne Klammer würden wir die 3 Gläser mit 1/8l quasi wieder zurückschütten.

Wir rechnen von hier aus zuerst die Klammer aus (Punkt vor Strich) und ziehen dann ab:

\(5l - (7 \cdot \frac{1}{4} l + 3 \cdot \frac{1}{8}l) = \\ 5l - (\frac{7}{4} l + \frac{3}{8}l) = \\ 5l - ( \frac{7\cdot 2}{4 \cdot 2}l + \frac{3}{8}l) = \\ \frac{5 \cdot 8}{8} l- (\frac{14}{8}l + \frac{3}{8}l) = \\ \frac{40}{8} l - \frac{17}{8}l = \\ \frac{23}{8} l\)

Weil in der Klammer nicht gekürzt werden kann, bringe ich auch die 5l vom Anfang auf den gleichen Nenner. Am Schluss sind dann 23/8 l = 2,875l übrig.

Ich hoffe, das ist klar so. Falls nicht frag' gern nochmal nach!

Aufgabe 1 ist in einer deiner letzten Fragen schon beantwortet. Wie dort erwähnt ist die Angabe so noch nicht genug für eine eindeutige Lösung, stelle die Frage gern nochmal neu mit korrekter Angabe, falls du dich verschrieben hast.

Für die Flächen-Frage: Die gesuchte Seitenlänge des kleinen Quadrats nenne ich x. 

Der Flächeninhalt des kleinen Quadrats ist dann x², der des großen Quadrats ist (8cm)². 

Außerdem wissen wir, dass der Flächeninhalt des großen Quadrats das vierfache des Flächeninhalts des kleinen Quadrats ist. Das liefert folgende Gleichung:

\(A_{groß} = 4 \cdot A_{klein} \\ (8cm)^2 = 4 \cdot x^2 \\ 64cm^2 = 4 \cdot x^2 \ \ |:4 \\ 16cm^2 = x^2 \ \ |\sqrt. \\ 4cm = x\)

Die gesuchte Seitenlänge ist also 4cm lang.

In der Alters-Aufgabe sind zwei Größen unbekannt: Das Alter des Vaters (nenne ich x) und das Alter des Sohnes (nenne ich y).

"Heute ist der Vater 24Jahre älter" liefert die Gleichung

x = y +24

"In fünf jahren wird der Vater dreimal so alt sein wie der Sohn" liefert die Gleichung

x+5 = 3* (y+5)

Ich setze nun die erste Gleichung in die zweite ein:

y+24 +5 = 3*(y+5)

y +29 = 3y +15   |-y

29 = 2y + 15   |-15

14 = 2y     | :2

7= y

Mit der ersten Gleichung folgt x = 7+24 = 31

Also sind Vater&Sohn heute 31 und 7 Jahre alt.

Hier hast du vermutlich die Aufgabe falsch abgeschrieben - so ist die Aufgabe nicht eindeutig lösbar. Ich vermute, dass eine Angabe fehlt - oder aber es sollten nur zwei Firmenchefs sein.

Falls es zwei Firmenchefs sein sollten, sieht das so aus:

Ich nenne zunächst das Kapital von Chef1 x, das Kapital von Chef2 nenne ich y.

Dann gilt

x+y = 56000

x = 2y

Die zweite Gleichung setze ich in die erste ein: 

2y + y = 56000

3y = 56000   | :3

y = 18666,67€

Damit folgt x=2y = 37333,34€

Also hat Chef1 37333,34€ eingesetzt, Chef2 nur 18666,67€.