CPhill

Using the Law of Cosines, we can find the side of the octagon, S, as

S^2  =  1^2 + 1^2   - 2 ( 1 * 1) cos (45°)

S^2   = 2  - [ 2 *  √2 / 2 ] 

S^2  = 2 - √2

S = √ [ 2 - √2 ]    units

So....the perimeter is

8 √ [ 2  - √2 ] units    ≈  6.12 units

(a + bi)^3  =

a^3  + 3a^2 (bi)  +  3a (bi)^2 + (bi)^3

a^3  + 3a^2bi  - 3ab^2 - bi

We need to  have

3a^2bi  - bi  =   107i

bi ( 3a^2 - 1)  =  107i                divide both sides by i

b ( 3a^2 - 1)  = 107

Since 107 is prime.....then....

Let  b   = 1

So

3a^2 - 1 = 107

3a^2  = 108

a^2 = 36

a = 6

So

(6 + i)^3    - 107i  =

6^3  + 3(6)^2 i   + 3(6)(i)^2  - i   - 107i   =

216 + 108i  - 18 - i  - 107i   =

(216 - 18) +  (108i - 108i)  =

198  =  the real number  

Nice, CU   !!!!!

See the following image :

If we draw  a  line segment  between the two intersection points  of the semi-circles....the length of  this segment - AC -  is given by

2√  [ 7^2  - 3.5^2]  =  (2 * 3.5)√ [ 4 - 1] =  7√3

Using the Law of Cosines

(7√3)^2   = 7^2  + 7^2  -  2 (49) cos (ABC)

147  =  98  - 2(49)cos (ABC)

49  =  -2(49) cos(ABC)

-1/2  =  cos (ABC)

arccos (-1/2)  =  ABC  = 

ABC  =  120°  =  (2/3)pi

So  (1/2)  of the blue shaded area  =

Area of sector ABC - area of triangle ABC

(1/2) (7^2)(2/3)pi - (1/2)(7^2) sin (120°)

(1/2)(7^2)(2/3)pi  -  (1/2)(7^2)*√3/2

(1/2) (7^2) [ (2/3) pi  - √3/2 ]

So....twice this area =  the blue shaded area  =

49  [ (2/3)pi - √3/2 ]  units^2 

26^3 *  1000   =  number of  plates  in old format

26^4 * 100  = number  of plates in new format

So

26^4 * 100  -  26^3 * 1000  =

28,121,600   =  difference 

f(1)  =  -1

f (-1)  =  7

f(7)  = -49

f(-49)  =  - 41

f (-41)  =   - 33

Very nice, Atroshus   !!!!

The identity  is    

C(n, k)  =   C(n - 1, k)  + C(n - 1, k -1)

So we have

[ C(5,0)  + C(5,1) ] + C(6,2) + C(7,1) + C(8,3) + C(9,2) + C(10,4) + C(11,3)

[C(6,1)] + C(6,2)  + C(7,1)  + C(8,3)  + C(9,2)  + C(10,4) + C(11,3)

[C(6,1) + C(6,2) ]  + C(7,1)  + C(8,3)  + C(9,2)  + C(10,4) + C(11,3)

[C(7,2)] + C(7,1)  + C(8,3)  + C(9,2)  + C(10,4) + C(11,3)

[C(7,2)+ C(7,1)]  + C(8,3)  + C(9,2)  + C(10,4) + C(11,3)

C(8,2)  + C(8,3)  + C(9,2)  + C(10,4) + C(11,3)

[C(8,2)  + C(8,3)]  + C(9,2)  + C(10,4) + C(11,3)

[C(9,3)] + C(9,2)  + C(10,4) + C(11,3)

[C(9,3)+ C(9,2) ]  + C(10,4) + C(11,3)

[C(10,3 ) ] + C(10,4) + C(11,3)

[C(10,3 )  + C(10,4)] + C(11,3)

[C(11,4) ] + C(11,3)  =

C(12.4) =  

495

*****

3)

We  actually have the  series

(1 + 1/9)    +  (1/9)  +   (1/90)   + 1/900  + ......+     =

(10/9)   +   (1/9)    +  (1/90) +  1/900 

The common ratio, r,  =    (1/10)    and the first term  is  (10/9)

So....the sum of this infinite series   =

(10/9)              (10/9)               (10/9)            10       10           100

______   =     ________   =    ______  =      ___ *  ___   =   _____  

 1   -  r              1  -1/10            (9/10)             9         9             81