CPhill

Let the center of the  large circle  be   =  (7,R)

Then the  center of   one of the  small circles   is  (11, 11)

So  the square of the distance   between  these two points  is   (R + 3)^2

So

(7-11)^2  + (11  - R)^2  =   (R + 3)^2

4^2  + R^2   -  22R + 121 =   R^2  + 6R  + 9     simplify

137 - 22R  =  6R + 9

137  - 9  =  28R

128  = 28R

128/28 =  R  =  32/7

Complete the square  on the  first equation                   Complete the square  on the  second equation 

x^2 + ax + a^2/4   =   -1 + a^2/4                                        x^2 -  x  + 1/4  =  a + 1/4

(x + a/2)^2  =  (a^2  - 4)  /4                                               ( x - 1/2)^2  = ( 4a + 1) / 4

                                                    Take  both roots  

( x + a/2)  =  ± √(a^2 - 4)  /2                                             ( x  -1/2)   = ± √(a + 1/4) /2

x = ± √(a^2  - 4) / 2   - a/2                                                  x   =  ± √(4a + 1) / 2  + 1/2

Note  that   when  a   = 2      

x  =   √ (2^2 - 4) / 2   -  2/2  =  -1                                      x  =  -  √  ( 9)/ 2  + 1/2 = -3/2 + 1/2  =  -1

So

x^2  + 2x  + 1  =  0      has the double  root of  -1

And

x^2  - x - 2  = 0           has the  roots  2  and  -1 

So....they share  the  root  of  -1      when  a  =  2

That's a nice solution method, guest   !!!!!

The diagonal of  the  square  will  be  the  distance  from  home plate to  second base

The diagonal of a square =  side * sqrt (2)

So....This distance  is    90 * sqrt (2)  ≈  127.28 ft  = 127 ft

So .....from 3  ft behind home plate  the distance =    127 +  3  =   130 ft

Angle DAC   = 180    - 85  =   95° 

And since ABCD  is a cyclic quadtilateral, then angle   DCB =  180  -95  =  85°

Then angle BCF  =180   -  85  = 95°

So angle FBC   =180  - 50  -95   = 35°

And this  =  (1/2)  measure of  minor arc BC    =   2 (35)    =  70°

But angle CAB    is an inscribed angle itercepting this arc....so its measure = (1/2) (70) =  35°

Let the number of  1 point shots =   x

Let the numberof 2 point shots   =  y

So

x  +   y     =    52

1x  + 2y   =    89              subtract the frist equation  from the second

y =  37  = the number of 2 point shots

x +  y  = 52

x + 37  =52

x = 52   - 37   =  15   = the  number of  1 point shots

In the first case    r  =sqrt ( 3^2 + 4^2)   = sqrt (25)   = 5

So sin (a)  =  3/5         cos ( a )   = 4/5

In the second case   r =  sqrt ( 5^2 + 12^2)  = sqrt (169)   =13

So   sin (b)  =  5/13       cos (b)  =  12/17

sin (a + b)   =   

sin a   cos  b     +     sin b    cos  a   =

(3/5)  ( 12/17)   +   (5/13) (4/5)   =

( 36 / 85 )  + (20 / 65)   =

808 /  1105

The product  of   Wilma's  roots  = c/1 =  c

So   1 * 8   =  8    = c

The sum of Greg's roots  =    -b/1  = -b

So    1 +  -4  =  -3

So b =  3

So  the polynomial is

x^2   + 3x   +  8   =   0

Using the  quadratic  formula  the roots are

( -3   ± √  (3)^2  - 4*8 ))  / 2   =   ( -3 ± √-23 )  / 2  =     (-3 ±  i √23) / 2

Call x  the  number of $10   increases

We have that   

R =  (200 + 10x)  ( 40000  - 800x)

R = 8000000 + 400000x  - 160000x - 8000x^2   rearrange as

R = -8000x^2 + 240000x + 8000000

The  x that maximizes the  revenue is

-240000/(2 * - 8000)  = 15

So......the price that  maximizes  the revenue  is   (200 +10*15)  = $350

Angle AED's  sum of its intercepted arcs  =    AB  +  BC +  DC

Angle DCB's  sum of its intercepted arcs =  ED + AE  +  AB

So ,  combined,  they intercept  arcs of    2AB  + AE  + ED +  DC  +  BC

2AB   = 360°  

AE + ED + DC  + BC  =  180°

So   their combined measures =  (1/2) ( 360 + 180)  =  (1/2) (540)  = 270°