CPhill

2n^5  +25n^2 + 32n - 15

________________________

6n^4 + 2n^3  -11n^2-2n+ 17

You are correct.....the limit does not exist

If  we  divide  every term by  n^4   and then  let  n  approach infinity.....we will be  left with

2n  + 0 + 0   +  0

________________  =     (2/6)n    =     n / 3     =  inf  / 3   =    the limit does not exist

  6  + 0 + 0 + 0 + 0

This will alwas happen  when  we  have  a higher power polynomial /  a lower power polynomial

The  centers  of the circles will be  (r, 0)   and (-r, 0)

The  equations of the  circles are

(x -r)^2  + y^2  = r^2   ⇒  x^2  - 2xr  + r^2  +  y^2  =  r^2   ⇒  y^2  = 2xr - x^2

(x + r)^2 + y^2  = r^2  ⇒  x^2 + 2xr + r^2  +   y^2  = r^2     ⇒ y^2  = -2xr - x^2 =  -(2xr + x^2)

Subbing  in  y^2   in the equation of  the ellipse  we  have this system 

x^2  + 2(2xr  - x^2)  =  6

x^2  -  2 (2xr + x^2) =  6

x^2  + 4xr   -  2x^2  = 6

x^2  -  4xr   + 2x^2  = 6        add  these

2x^2  = 12

x^2  =  6

x = sqrt (6)

Using   x^2  + 4xr  - 2x^2 = 6  to solve for r

(sqrt (6))^2  + 4 (sqrt 6) r  - 2(sqrt 6)^2  =  6

6  +  4sqrt(6) r  -  12 =  6

4sqrt (6) r  = 12

sqrt (6)r   = 3

r =  3 / sqrt (6)   =  3/ ( sqrt 3  * sqrt 2)   =   sqrt  (3/2)

The  graph below shows  what we have.....the circles are   tangent to each other and  internally tangent to the ellipse   at the endpoints  of the major axis of the ellipse......

14p^2   +  21pg  =

7p  ( 2p  + 3g)

The  bottom part of  the shaded area   =  8

The length of  one  of the  curved  sides =   1/4  circumference of a  circle with a radius of 4  =

(2 pi * 4)  / 4   =  2pi

So.....the perimeter of  the  shaded  area  =   8  + 2 (2pi)   =  8 + 4pi    units

See  here  :   https://web2.0calc.com/questions/counting-question_35

Correct  answer    =  14

Nice, heureka   !!!!!

Thx, heureka.......this  one  is  very difficult    !!!!

5            14              29              59             113              200            329

        9            15               30               54             87              129

                 6              15             24              33              42

                          9              9                9               9

We  have   three rows of  non-zero   differences

So.....we  can  create a  3rd degree polynomial   ⇒  an^3 +  bn^2 + cn  + d

(Where  n is the nth term )

We  have  this  system

a  + b  +  c   +  d     =  5

8a + 4b + 2c  + d  =  14

27a + 9b + 3c + d  =   29

64a + 16b + 4c + d  =   59

This is a little tedious to solve ( but not impossible), so I'll enlist a little  help  with technology here  :

https://matrix.reshish.com/gauss-jordanElimination.php

a = 3/2     b   = -6     c   =  33/2    d  =  -7

So.....the  polynomial  that will generate  this series is

P(n)   = (3/2)n^3  -6n^2  + (33/2)n  -  7

The 8th term  =  509

Let's see if  we  can find a pattern

The  terms  are

3  ,  2/4 ,  -1/3 ,   -2 ,     3

Note   that   the period will  repeat  after  every  4 terms

So      100/4  =   25    complete periods

So     a₁₀₀  =   -2

By Vieta

The  sum of the roots =  -b

So   - b  =      (-7 + 2i)  + (-7 - 2i)  =   -14

So  b =  14

Also....the product of the roots =  c

So   c =         (-7 + 2i)  ( -7 - 2i)   =    49 - 4i^2   =  49  - 4(-1)   =   49 + 4  = 53

b +  c  =  14  +  53   =   67