Dragan

In the figure below, there are 6 squares: 4 small, 1 medium (in blue), and 1 large. There are 9 circles, which will be filled with all the integers 1 through 9 such that the sum of the vertices of each square is 20.

           What is the product of the 4 numbers along the blue square?          

                                     The product   P = [sqrt(2025 * 7⁰) /2] + sin(30°)     

Btw, on this concept, smart toys could be made.

Circle B radius     >   R_b = 1

Circle A radius     >   R_a = ?                  R_a = sqrt [ (R_b)² + (C/2)² ]       R_a = 2.236 u² 

Chord length        >   C = 2

Area of  A             >   A₁ = ?                   A₁ = (R_a)² * pai                 A₁ = 15.708 u² 

Area of  B             >   A₂ = ?                   A₂ = (R_b)²* pai                 A₂ = 3.14159 u² 

Ratio                     >  A : B = ?               A  :  B =  A₁ / A₂               A : B = 5 : 1     

Large circle radius   r = 2          Area of a large circle:     A = 2² * pai = 12.566 u²

Small circle radius   r = 1          Area of 4 small circles:   A = pai * 4   =  12.566 u²

This proves that the blue and yellow areas are equal. 

Circle  radius                r = 2

Angle                            q = 30°

Red hxgn 1/2side         S₁ = ?                S₁ = tan(30) * r         S₁ = 1.1547         

Green hxgn 1/2side      S₂ =?                 S₂ = sin(30) * r         S₂ = 1.000 

Red hxgn area              A₁ =?                 A₁ = ( S₁*r) *6          A₁ = 13.8564 u² 

Green hxgn area           A₂ =?             A₂ =[S₂*sqrt(3)]*6        A₂ = 10.3923 u² 

Ratio                                                                 A₂ : A₁  =   3 : 4              

Circle's radius      >  r = 2

Rhombus side      >  s = r

--II-- long diagonal > d₁ =?             d₁ = sqrt[s²- (r/2)²]*2      d₁ = 3.464

--II-- short diagonal > d₂ = r           

Rhombus  area       > A = ?             A = 1/2(d₁*r)  or  A = s * sqrt(3)  or A = (d₁*d₂)/2   

                                                                                      A = 3.464 u²  

Triangle side  >  s = 2 

---II---   angle  >  q = 60°  

---II---  height  >  h = ?                   h = tan(60°)  = 1.732      

Square side    >  a = 2

Total height     >  H = ?                  H = a+h      H = 2+1.732     H = 3.732              

Desired angle >  A = ?                   tan(q/2) = (a/2)/H  = 15        A = 15*2   = 30°   

Large square side =>   a = 12cm             A = [ b*sqrt(2) + a*sqrt(2) /2] * d/2

---- II ---- diagonal  =>   d

Small square side  =>   b = 6cm                                                 

Green area             =>  A                                               A = 144 cm²  

Circle's radius     =>  r                   A = [r/tan(q/2)*r]*3   

Triangle's angle  =>  q

Triangle's area    =>  A                                  A = 11.69 u²  

u r w

Smaller square side                  a = 1

Equilateral triangle side             s = 1

Equilateral triangle height         h =  sqrt [ s² - ( s/2)² ]       h = sqrt [ 1 - (1/2)² ]  = 0.866

The area of a larger square      A = 2( h + a/2 )²                 A = 2(0.866+0.5)²  =  3.732 u²