Hallo Mathefreaker!
Der Film ist wirklich interessant und erzählt auch viel Wahres. In dem Punkt, dass sich die Masse des Menschen bei Verdoppelung der Erdmasse von 80kg auf 800kg vergrößern würde, liegt der Autor aber falsch. Die Masse eines Körpers kann sich nicht ändern.
Im Film wurde dann das Beispiel gebracht, was wäre, wenn die Masse der Erde das doppelte, fünffache oder zehnfache hätte. Es würde beinah stimmen, wenn er die alte Gewichtseinheit Kilopond (1kp = 9,807N) verwendet hätte.
In deinem Beitrag hast du gefragt, wie sich das Gewicht ändert, wenn die Erde 2x, 5x oder 10x so groß würde. Bei Größe geht man gewöhnlich vom Durchmesser aus, also auch ich. Deshalb der Unterschied zu den Angaben im Film. Weil es auch mich interessiert, rechne ich dieses mal die Gewichtsänderung bei Vervielfachung der Erdmasse.
\(m_{Erde}=5,9732\cdot 10^{24}kg\\ \rho=5,51g/cm^3\\ r_{Erde}=6371km\\ m_{Mensch}=80kg\)
\(Annahme\ ideale\ Kugel:\\m=\frac{4}{3}\pi r^3\cdot\rho\\ r=\sqrt[3]{\frac{3m}{4\pi\cdot \rho}} =\sqrt[3]{\frac{3\cdot 5,9732\cdot 10^{24}kg}{4\cdot \pi\cdot 0,00551kg/cm^3}\cdot\frac{m^3}{10^6cm^3}} \)
\(r_{1\cdot m}=6372682,5m\\ r_{2\cdot m}=6372682,5m\cdot\sqrt[3]{2}\\ r_{2\cdot m}=8029076,8m\)
\({\color{blue}F_1=}G\cdot \frac{m_{Erde}\cdot m_2}{r}\cdot (\frac{kp\cdot s^2}{9,807\cdot kg\cdot m})=\color{blue}80kp\\ F_2=G\cdot \frac{2\cdot m_{Erde}\cdot m_2}{r\cdot \sqrt[3]{2}}=\frac{2}{\sqrt[3]{2}}\cdot G\cdot \frac{m_{Erde}\cdot m_2}{r}=\frac{2}{\sqrt[3]{2}}\cdot 80kp\)
\(\color{blue}F_2=127kp\)
\(F_5=G\cdot \frac{5\cdot m_{Erde}\cdot m_2}{r\cdot \sqrt[3]{5}}=\frac{5}{\sqrt[3]{5}}\cdot G\cdot \frac{m_{Erde}\cdot m_2}{r}=\frac{5}{\sqrt[3]{5}}\cdot 80kp\\ \color{blue}F_5=233kp\)
\(F_{10}=G\cdot \frac{10\cdot m_{Erde}\cdot m_2}{r\cdot \sqrt[3]{10}}=\frac{10}{\sqrt[3]{10}}\cdot G\cdot \frac{m_{Erde}\cdot m_2}{r}=\frac{10}{\sqrt[3]{10}}\cdot 80kp\\ \color{blue}F_{10}=371,3kp\)
Man wird schwerer, aber doch nicht um so viel, wie es der Film behauptet.
Schönen guten Morgen wünscht
!
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