CPhill

Using synthetic division

-2 [   a    b            1                    -  6  ]

            -2a       4a -2b         -8a + 4b - 2

       ______________________________

       a   b -2a     4a - 2b + 1      -8a  + 4b - 6  - 2   = 0    ⇒  -8a  +4b  =  8   ⇒  2a - b  =  -2     (1)

2   [   a            b            1                             -6       ]

                     2a        2b + 4a               8a + 4b + 2

        _________________________________

         a         b + 2a     4a + 2b + 1      8a + 4b - 4   =  4   ⇒  8a + 4b  = 8    ⇒ 2a + b   =  2     (2)

Add  (1) and (2)

4a  =  0

a  =  0

And 

2(0)  + b  = 2

b  = 2

Complex roots  of a quadratic   always     have  the forms

a +  bi      and     a   -  bi

These are known as conjugate pairs

Let  the center of the  circle  be, O  = (0,0)

The distance  from  (0,0)  to (1,3)  = sqrt (1^2 + 3^2)  = sqrt (10)

And if we let  the radius of the  circle     meet one of the tangents at  B

Then triangle  OPB is  right     with OP  the hypotenuse and OB  a leg = the radius =  2

And    PB    = sqrt  ( OP^2  - OB^2)  =  sqrt (10  - 2^2)  =  sqrt (6)

sin OPB  =  2/sqrt (10)

So   ....using symmetry......the angle  between r and s    will be 2*angle OPB 

cos  ( 2 * angle OPB) =    1  - 2 (sin (OPB) )^2  =    1  - 2 (2/sqrt (10))^2  =

1 -  2  ( 4/10)  =

1  - 8/10  =

2/10   =   

1/5  =   cos  of the  angle  beteen  r and  s

1/x +  1/y  = 5

(x + y)  / xy  = 5

x + y  =  5xy

3xy   + x + y  =  4

3xy  +  5xy   =  4

8xy =  4

xy  = 4/8 = 1/2

So

x^2 y + xy^2   =

xy  ( x + y)  =  

(1/2)  ( 5xy)  =

(1/2)  ( 5 * (1/2) )  =

5/4

a +  b  = 69  square both sides

a^2 + 2ab + b^2  =   4761

a^2 + b^2   +  2ab   = 4761

2525  +  2ab  =  4761

2525  - 4761  =   - 2ab

-2236 = -2ab

1118  = ab

a^3  + b^3  =   (   a + b )   ( a^2 - ab + b^2)   =   (a + b) (a^2 + b^2  - ab)  =

(69)  ( 2525  - 1118)   

(69)  ( 1407)   =  97083

Note that KG  = 5

So....we  have a right triangle  such that

HJ^2  + GJ^2   =  (GK + HK)^2

12^2  +  5^2  = ( 5 + HK)^2

144  +  5^2   = 25  + 10 HK  + HK^2

169  = 25  +10HK + HK^2

144   = 10HK + HK^2

HK^2  + 10HK  - 144   =  0

(HK - 8)  ( HK + 18)  =  0

The first  factor  set to 0  solves this

HK  - 8  = 0

HK  =  8

(We could actually see  that we have a 5-12-13  right triangle....so HK =  13 -  5  =  8)

Here :   https://web2.0calc.com/questions/help-plz_82179#r1

30^99  =  ( 31   - 1 )*99

61^100  =  ( 62  -1 )^100

The binomial expansion  of the  first   will   have all terms divisible by 31  in every  term except the last  which    =  (-1)^99 = -1

The binomial expansion of the  second  will   have some  power of  62  in every term  (each divisible by 31)  except the last term which is  (1)^100  =   1

So....adding the  expansions   will  give us  all terms  that will be  divisible  by  31  plus  -1 + 1  =  0

So  the remainder of this sum divided  by 31 =    0

z^x  = y^(2x)        take the log of both sides

log z^x =  log y^(2x)

x log z =  x log y^2

log z =  log y^2       implies that    z  = y^2   ⇒   sqrt (z)  =  y     (1)

And

2^z  = 2 (4^x)             divide  both sides  by  2

2^(z - 1)   =  4^x

2^(z  -1)   =  (2^2)^x

2^(z  -1)  =  2^(2x)          implies that

z  -1    =  2x

(z  -1)  / 2  = x       (2)

x +  y +  z    =16            (3)

Sub (1)  and (2) into (3)

(z  -1)/2   +  sqrt (z)  +  z  =   16

z - 1  +  2sqrt (z)   + 2z   = 32

3z  + 2sqrt (z)   =  33

Note that  this is true when  z =  9

(9 -1) / 2  =  x   =   8/2  = 4

sqrt (9)  = y =   3

So

xyz  =       4(3)(9)  = 108

1/4 cup water  / 1 Tsp cocoa    =     x  /  1.5 cocoa               cross-multiply

1.5 *  1/4  =    1x

(3/2) (1/4)  = x

3/8  cup  water   = x