+0  
 
0
55
1
avatar

\[\begin{cases} z^x = y^{2x} \\ 2^z = 2(4^x) \\ x+y+z = 16 \end{cases} \]

Find the integral values of \(x\), \(y\), and \(z\) satisfying the system of equations above. Submit \(xyz\).

 Jan 26, 2021
 #1
avatar+116126 
+1

z^x  = y^(2x)        take the log of both sides

 

log z^x =  log y^(2x)

 

x log z =  x log y^2

 

log z =  log y^2       implies that    z  = y^2   ⇒   sqrt (z)  =  y     (1)

 

And

 

2^z  = 2 (4^x)             divide  both sides  by  2

 

2^(z - 1)   =  4^x

 

2^(z  -1)   =  (2^2)^x

 

2^(z  -1)  =  2^(2x)          implies that

 

z  -1    =  2x

 

(z  -1)  / 2  = x       (2)

 

 

x +  y +  z    =16            (3)

 

Sub (1)  and (2) into (3)

 

(z  -1)/2   +  sqrt (z)  +  z  =   16

 

z - 1  +  2sqrt (z)   + 2z   = 32

 

3z  + 2sqrt (z)   =  33

 

Note that  this is true when  z =  9

 

(9 -1) / 2  =  x   =   8/2  = 4

 

sqrt (9)  = y =   3

 

 

So

 

xyz  =       4(3)(9)  = 108

 

 

cool cool cool

 Jan 26, 2021

56 Online Users

avatar
avatar
avatar