algebra

\(\:z=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\)

so \(z^{12}+\:\frac{1}{z^{12}}\) i belive is 2

z  +  1/z  = 1

(z  + 1/z)^2  = 1^2                            

z^2  + 2  +  (1/z)^2   =  1                   

z^2   + 1/z^2   =   -1                                                                       

(z  +  1/z)^4  = 1^4

z^4  +  4z^2  + 6  + 4/z^2  + 1/z^4  = 1

z^4  + 4 (z^2 + 1/z^2)  + 6  + 1/z^4   = 1

z^4  + 1/z^4   -  4 +  6  =   1

z^4  +  1/z^4 =    -1

(z  + 1/z)^6  =  1^6

z^6  +  6z^4  + 15z^2  + 20  +  15/z^2  + 6/z^4  + 1/z^6    =  1

z^6  + 1/z^6   +  15 ( z^2 + 1/z^2)  + 6(z^4 + 1/z^4)  + 20   =1

z^6  +  1/z^6  + 15*-1  + 6*-1  + 20   =  1

z^6  + 1/z^6  -1  = 1

z^6  + 1/z^6  =  2

(z^6 + 1/z^6)  ( z^6  + 1/z^6)  =   2 * 2

z^12  +  2 ( z^6 * ( 1/z^6) )  +  1/z^12  =  4

z^12   +  2   +  1/z^12   =   4

z^12  + 1/z^12   =  2