+0  
 
0
69
1
avatar+4 

What is the sum of all integer values \(n\) for which\( \binom{26}{13}+\binom{26}{n}=\binom{27}{14}\)?

 Aug 4, 2020
 #1
avatar+21953 
+1

26! / (13! · 13! )  +  26! / ( n! · (26 - n)! )  =  27! / ( 14! · 13! )

 

Rewrite as:     26! / (13! · 13! )  +  26! / (n! · (26 - n)! )  =  27 · 26! / ( 14 · 13! · 13! )

 

Divide by 26!:     1 / (13! · 13! )  +  1 / (n! · (26 - n)! )  =  27  / ( 14 · 13! · 13! ) 

 

1 / ( n! · (26 - n)! )  =  27  / ( 14 · 13! · 13! )  - 1 / (13! · 13! ) 

 Factor:                 =  1 / (13! · 13! )  ·  ( 27/14 - 1 )

 Simplify:              =  1 / (13! · 13! )  ·  ( 13/14 )

                             =  13 / ( 14! · 13! )

                             =  1 / ( 14! · 12! )

 

Therefore,  n! · (26 - n)!  =  14! · 12!

 

So,  n  is either  12  or  14 ...

 Aug 4, 2020

15 Online Users

avatar