Calculus

lim               sin 5x

x →0           _____   

                    sin 8x

Note that we can write

lim               sin (5x)

x → 0        _________   

                        x

            _______________              and we   can  also write

                   sin (8x)

                  ______

                       x 

lim               5sin (5x)

x →0           _______

                      5x

              _____________

                  8sin (8x)

                  ________

                    8x

Note that  using a limit property   .....if we let 5x , 8x =  θ  

lim                 sin  θ

 θ →0          _______  =   1

                         θ

So we have

5(1)           5 

___   =     ___  

8(1)           8

Find the limit:

$\large{ \lim \limits_{x \to 0} ~\dfrac{\sin(5x)}{\sin(8x)} }$

Apply L'Hopital's Rule and we have:

$\begin{array}{|rcll|} \hline && \mathbf{\lim \limits_{x \to 0} ~\dfrac{\sin(5x)}{\sin(8x)}} \\\\ &=& \lim \limits_{x \to 0} ~\dfrac{5\cos(5x)}{8\cos(8x)} \quad | \quad \lim \limits_{x \to 0} ~ \cos(5x)= 1,\ \lim \limits_{x \to 0} ~ \cos(8x)= 1 \\\\ &=& \dfrac{ 5\cdot 1}{8\cdot 1} \\\\ &\mathbf{=}& \mathbf{\dfrac{ 5 }{8 }} \\ \hline \end{array}$