+0  
 
0
79
1
avatar

Find all complex numbers z such that z^2 = 2i + 2.

 Jun 24, 2021
 #1
avatar+121048 
+3

z  = a + bi                        i^2   =  -1

 

( a + bi)^2    = 2i +  2

 

a^2  +  2abi   + b^2i^2     =  2i  +  2

 

a^2 -   b^2  +  2ab i =   2i  + 2

 

Which implies  that

 

a^2  - b^2     =   2                (1)  

2ab  =    2    ⇒   ab =  1   ⇒   b =  1/a     (2)

 

Sub (2)  into (1)

 

a^2  -  (1/a)^2   =   2       mutiply through by  a^2

 

a^4   -  1  = 2a^2

 

a^4  -  2a^2   -  1   =  0               let  a^2  =  x   ⇒   a  = sqrt (x)

 

x^2  - 2x  - 1    =  0

 

x^2  - 2x   =  1              complete  the square on  x

 

x^2  - 2x + 1  =  1 +  1

 

(x - 1)^2  =  2

 

x - 1  =  ±sqrt (2)

 

x = 1 + sqrt (2)                or       1 -  sqrt (2)

 

Only  the  first  solution  is  valid

 

a =  sqrt (x)   =   sqrt  (  1  + sqrt (2) )

 

b =   1  /  sqrt   ( 1  + sqrt (2) )

 

z =       sqrt ( 1 + sqrt (2) )    +     1/ (sqrt ( 1 + sqrt (2)) i

 

 

cool cool cool

 Jun 24, 2021

12 Online Users

avatar