+0  
 
0
735
1
avatar+644 

Find an ordered pair of constants (a,b) such that the polynomial f(x)=x^3+ax^2+(b+2)x+1 is divisible by x^2 - 1.

 Dec 4, 2017
 #1
avatar+98125 
+1

If this is divisible by  x^2  - 1.....it must be divisible by  (x - 1)  and ( x + 1)

 

So....using synthetic division

 

1  [   1     a         b  + 2                    1       ]

               1        a  +  1          a+ b + 3 

       ______________________________

        1   a + 1     a + b + 3     a +  b + 4

 

 

-1  [   1       a           b +   2                   1          ]

                  -1          -a +  1               a  -  b  - 3   

         ______________________________

          1     a - 1      b - a  + 3           a  -  b  - 2

 

And  for 1 and -1 to be roots.....the following system must be true

 

a  + b  +   4   =  0

a  -  b  -   2    =  0      add  these

 

2a   +   2   =    0        ⇒   a  =  -1

 

And    a  + b  + 4  = 0

          -1   + b  +  4  = 0

                b + 3   =  0

                 b  = -3   

 

So  (a,b)   =  ( -1, - 3) 

 

 

cool cool cool

 Dec 4, 2017

3 Online Users

avatar