+0

# Floor and Ceiling

0
126
1

Find the positive real number $$a$$ such that $$\left\{a^{-1} \right\} = \{a^2\}$$ and $$2 < a^2 < 3$$

Here $$\{x\}$$ denotes the fractional part of $$x$$ that is, $$\{x\} = x - \lfloor x \rfloor.$$

Jul 20, 2019

#1
+5

{ a-1 }  =  { a2 }

Using the definition of the  { }  function, we can say

a-1 - floor( a-1 )  =  a2 - floor( a2 )

Now since  2 < a2 < 3 ,  a  can't be  1 .  And so  floor( a-1 )  =  0

Also since  2 < a2 < 3 ,  we can say for sure that  floor( a2 )  =  2

a-1 - 0  =  a2 - 2

Subtract  a-1  from both sides of the equation.

0  =  a2 - 2 - a-1

Multiply through by  a  and note  a ≠ 0

0  =  a3 - 2a - 1

0  =  a3 - a  -  a - 1

0  =  a3 - a2 - a  +  a2 - a - 1

0  =  a(a2 - a - 1) + 1(a2 - a - 1)

0  =  (a + 1)(a2 - a - 1)

 a + 1  =  0 ___ or ___ a2 - a - 1  =  0 a  =  -1 a  =  ( 1 ± √[ 1 - 4(-1) ] ) / 2 a  = ( 1 ± √5 ) / 2 a  =  (1 + √5 ) / 2 ___ or ___ a  =  (1 - √5 ) / 2 a  ≈  1.618 a  ≈  -0.618

We only want the middle solution because the other two violate the inequality  2 < a2 < 3

So     a  =  (1 + √5 ) / 2

Jul 20, 2019