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Andrew has a favorite function \(A(x)=px+q^x\) such that \(A(1)=4\) and \(4A(2)=37\), find the maximum value of \(p-q.\)

 Dec 29, 2020
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A(1)  =  p(1)   + q^1  =   p +  q  =  4  ⇒      q =   4 - p      (1)

 

4A(2)  = 4 [ p(2)  + q^2 ] =  8p + 4q^2  =  37         (2)

 

Sub (1)  into (2)  for  q 

 

8p + 4 (4 - p)^2    = 37

 

8p + 4 (p^2   - 8p +16)  =  37

 

8p + 4p^2  - 32p + 64   = 37

 

4p^2  - 24p + 27  =  0        factor

 

(2p - 9)(2p - 3)  =  0

 

Set each factor to  0  and  solve  for  p   and we  get that  p =  9/2    or  p  =3/2

 

When  p =  9/2, q  =  4 - (9/2)  = -1/2   and     p  - q =  9/2 -  - 1/2  =  10/2  = 5

 

When p=  3/2 , q = 4 - (3/2)  = 5/2   and p - q  =  3/2 - 5/2  =  -2/2  =   - 1

 

So max value  of    p - q   =    5

 

 

cool cool cool

 Dec 29, 2020

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