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avatar+32 

Given positive integers $x$ and $y$ such that $x\neq y$ and $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{18}$, what is the smallest possible value for $x + y$?

 May 17, 2021
 #1
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-1

You get the minimum when x = 27 and y = 54, so x + y = 81.

 May 17, 2021
 #2
avatar+32 
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how did you get the minimum

ch1ck3n  May 17, 2021
 #3
avatar+121056 
+2

1/ x   +   1/y    =  1/18

 

x and y  must  be  >  18

 

Let   z = 18

Let   x =   z +  a

Let y =  z  +  b

 

So  we  have  that

 

1 / ( z + a)   +  1  /(z + b)  =  1 /  z   simplify

 

[ z + b + z + a ]  / [ (z + a) (z + b) ]    =  1  / z    cross-multiply

 

z  [2z  + a + b ]   =     (z + a) ( z + b)

 

2z^2  + az + bz   =  z^2 + az  + bz  +  ab

 

z^2  =   ab

 

This implies  that

 

18^2   =  ab

 

324  =  ab

 

Factors of 324   are   1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 9 | 12 | 18 | 27 | 36 | 54 | 81 | 108 | 162 | 324 (15 divisors)

 

x  +  y   is minimized   when     a  = 12   and  b = 17

 

So....x = z + a  =  18  + 12  =  30

And  y  = z + b  =   18  + 27  =   45

 

So  x  + y =   30  +  45    =  75

 

cool cool cool

 May 17, 2021
 #4
avatar+32 
+1

thank you for the explanation!

ch1ck3n  May 17, 2021

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